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2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A
B =（ ）
（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台
3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D
4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉
5、抛物线2
8y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ） （A ）23 （B ）2
y
x
D
B
A O
C
（C）3（D）1
6、函数()2sin()(0,)
22
f x x
ππ
ωϕωϕ
=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ
的值分别是（）
（A）2,
3
π
-（B）2,
6
π
-
（C）4,
6
π
-（D）4,
3
π
7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得
数据的茎叶图如图所示。
以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，
[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（）
8、若变量,x y满足约束条件
8,
24,
0,
0,
x y
y x
x
y
+≤
⎧
⎪-≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
且5
z y x
=-的最大值为a，最小值为b，则a b
-的
值是（）
（A）48（B）30（C）24（D）16
9、从椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点
1
F，A是椭圆与x
轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且//
AB OP（O是坐标原点），则该椭圆
的离心率是（）
（A）
2
4
（B）
1
2
（C）
2
2
（D）
3
2
10、设函数()x
f x e x a
=+-（a R
∈，e为自然对数的底数）。
若存在[0,1]
b∈使
11π
12
5π
12
2
-2
O
(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）
（A ）[1,]e （B ）[1,1]e + （C ）[,1]e e + （D ）[0,1]
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、lg 5lg 20+的值是____________。
12、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，
AB AD AO λ+=，则λ=____________。
13、已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。
14、设sin 2sin αα=-，(,)2
π
απ∈，则tan 2α的值是____________。
15、在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的
坐标是_______。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。
17、(本小题满分12分)
在
ABC
∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
3
cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=-。
（Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影。
18、(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这
24个整数中等可能随机产生。
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率
O
C
A
B
D
(1,2,3)i P i =；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数。
以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。
甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，
120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上
异于端点的点。
（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体
积。
（锥体体积公式：1
3
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）
20、(本小题满分13分)
已知圆C 的方程为22
(4)4x y +-=，点O 是坐标原点。
直线:l y kx =与圆C 交于,M N
两点。
1
C
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222
211
||||||
OQ OM ON =+。
请将n 表示为m 的函数。
21、(本小题满分14分)
已知函数22,0
()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩
，其中a 是实数。
设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为
该函数图象上的两点，且12x x <。
（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围。
1.解析：
【答案】B
【解析】本题考查用列举法表示的集合的交运算．A 、B 两集合中只有一个公共元素2，∴A I B = {2}，选B．
【易错点】看清题！求交集不是求并集！【难易度评价】★送分题
4.
5.
6.
7.
8.【答案】C
【解析】本题考查线性规划，约束
9
10.
11.
13.
14.【答案】
15.
16.
17
【解析】本小题主要考查两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识，考查向量投影的概念，考查运算求解能力、考查化归与转化等数学思想．
18.
1
6
1
2
1 3，输出y 的值为3 的概率为
1
6
19.
20.。