（1）求这条抛物线的解析式与顶点P的坐标； y （2）求△POM（O为坐标原点）的面积。 M
O
A
Q P B
x
例3 已知二次函数的图象如图， （1）求二次函数的解析式 ；
5 4 1 2 3 -1 N -2Ｃ M -3
x
【解】（１） 由图象看出A（-1，0），B（2，0） C （O，-2） 设抛物线解析式为：y=a（x- 2）（ｘ＋１）Ｃ在 抛物线上，∴ａ＝１ ∴抛物线解析式为：ｙ＝ｘ２－ｘ－２
9 其中 0＜t＜ 4
例3 已知二次函数的图象如图， （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P 使△ PAC为Rt△ ？若存在，求出所有符合条 件的点P的坐标；若不存在，说明理由。
解 ：设P（m，n）则ｎ＝ｍ２－ｍ－２ １）当Ｒｔ△ ＰＡＣ是以ＰＣ为斜边时 有ＰＣ２＝ＰＡ２＋ＡＣ２ 即ｍ２＋（ｎ＋２）２＝（ｍ＋１）２＋ｎ２＋５ 把ｎ＝ｍ２－ｍ－２ 代入得 y 5 4 3 2 1
Q
A
P
B
例4:如图、等腰直角三角形的腰长和正方形的边长为 4，等腰三角形以2米/秒的速度沿直线向正方形移动， 直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分 的面积为y平方米. (1)写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围
m
5 2
或
7 n 4 ∴点Ｐ１（ 5 ， 7 ） 4 2
ｍ＝－１ （舍） -3 ｎ＝０
Q B A -2 -1 O 1 2 3 -1 N -2Ｃ M -3
x
２）当Ｒｔ△ ＰＡＣ以ＰＡ为斜边时 则 ＰＡ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２ 即（ｍ＋１）２＋ｎ２＝ｍ２＋（ｎ＋２）２＋５ 把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得
3 m 2
(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形QPBCD的面积为Scm2, 写出S与t的函数关系式; t为何值时,S最小?最小值是多少? (2)求四边形QAPC的面积； 提出一个与计算结果有关的结论；
D Q
A C
P
B
例5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x 轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，与y轴交 于点M。抛物线的顶点为P，且PB=2 5 。
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a
A
D
B
C
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
例3、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出 发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在 分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 （2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； D C （3）t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）求S△ABC （3）在抛物线上（除点C外）， 是否存在点N，使得 S△NAB = S△ABC， 若存在，求出点N的坐标， 若不 存在，请说明理由。
A O C
B
x
.N1
抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （A在B的左边），与y轴交于点C.
y
（4）若点P是抛物线的顶点, 求四边形ACPB的面积.
（2）①抛物线顶点在 x 轴上 y=a（x+m）2
② 顶点在 y 轴上（对称轴是 y 轴） y=ax2+c y=ax2+bx ③图象经过原点 ④ 图象的顶点在原点 y=ax2
抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点 （A在B的左边），与y轴交于点C. (1)求出点A、B、C的坐标 y .N2 及A、B的距离 .N3
A O
NB
x
（5）设M（a，b）（其中0<a<3）是 抛物线上的一个动点，试求四边 形OCMB面积的最大值， 及此时点M的坐标。
C
Q
P
.M
y
y
y
A C
O
B
x
A C
O
B
x
A
O C H P
B
x
P
P
练习:运动中的面积问题
在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边 从点A出发向B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开 始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒 表示移动的时间（0＜t＜6）那么：
2014年中考专题
二次函数中的面积问题
y=ax2+c y=ax2 直线x=0
y=a（x+m）2 ∆=0
y=ax2+bx C=0
A B C D （1）你能说出上列的函数的图象对应是下面哪个的函数的 解析式？ ① y=ax2+c ② y=ax2 ③y=a（x+m）2+k
④ y=a（x+m）2
⑤y=ax2+bx
1 9 ，－ ） 2 4
y 5 4 3 2
1 Q B 3 A ｙ＝ ｘ－３ 2 -3 -2 -1 O 1 2 3 ∵QＮ=t ∴把ｙ＝ｔ代入直线 -1 N ＭＢ的解析式， 2 -2Ｃ M 得ｘ＝２－ ｔ -3 3 1 1 2 ∴S＝ ×２×１＋ （２＋ｔ）（2－ t） 2 2 3
x
1 2 1 即S＝- t ＋ t ＋3 3 3
或
ｍ＝０ （舍） ｎ＝－２ y 5 4 3
5 n 4
3 ∴点Ｐ２（ 2
， 5 4 ）
2
Q B A -2 -1 O 1 2 3 -1 N -2Ｃ M -3 1
∴存在符合条件的点Ｐ，坐标为 ∴点Ｐ１（ 5 ， 7 ） 4 2
-3
x
3 Ｐ２（ 2
，
5 4
）
例3:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N 作x轴的垂线， 垂足为Q，当点N在线段BM上运动时（不与点B、点M 重合）设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S 与ｔ间的函数关系式及自变量的取值范围；
解（2）设过B（2，0） M（ 的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ 3 则 ｋ＝ ｂ＝－３ 2 ∴直线ＢＭ的解析式为：