2019北京四中高一（上）期中数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝（）A．{2，3，4，5} B．{3} C．{1，4，5} D．{1，3，4，5}2．（5分）函数的定义域是（）A．R B．{x|x＞2} C．{x|x≥1} D．{x|x≥1且x≠2}3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x| C．y＝2x+1 D．5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①②③y＝x2+1④偶函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A）∩B＝．12．（5分）已知，则f（f（﹣1））的值为．13．（5分）函数y＝x2+3x﹣1，x∈[﹣2，3]的值域是．14．（5分）若x＞0，则f（x）＝4x+的最小值为．15．（5分）若二次函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为．②该小组人数的最小值为．三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x2+4x+3＜0}，C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}．（1）求A∪B；（2）若C⊆A∪B，求实数k的取值范围．18．（8分）已知a，b＞0，证明：a3+b3≥a2b+ab2．19．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设．（1）当时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019北京四中高一（上）期中数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据函数f（x）的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数中，令，解得x≥1且x≠2，所以函数f（x）的定义域是{x|x≥1且x≠2}．故选：D．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．3．【分析】由a＞b，根据不等式的基本性质即可得出结论．【解答】解：由a＞b，可得ac与bc大小关系不确定，ac2≥bc2，a+c2＞b+c2，与的大小关系不确定．因此只有C确定．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．【分析】由二次函数的性质可知，y＝x2﹣2x在（0，+∞）上的单调性；由一次函数及函数图象变换可知y＝|x|在（0，+∞）上为增函数；由一次函数的性质可知，y＝2x+1在（0，+∞）上为增函数；由幂函数的性质可知，y＝在（0，+∞）上为增函数，从而可判断y＝﹣（0，+∞）上为减函数【解答】解：由二次函数的性质可知，y＝x2﹣2x在（0，+∞）上先减后增，故A错误；y＝|x|在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B错误；由一次函数的性质可知，y＝2x+1在（0，+∞）上为增函数，故C错误；由幂函数的性质可知，y＝在（0，+∞）上为增函数，从而有y＝﹣（0，+∞）上为减函数，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．5．【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：B．【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6．【分析】对各函数分别检验是否满足f（﹣x）＝f（x）即可判断．【解答】解：①由＝f（x），可得f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），即不为偶函数；②f（x）＝的定义域为{x|x≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y＝x2+1的图象关于y轴对称，为偶函数；④由可得f（﹣x）＝＝f（x）是偶函数．故选：C．【点评】本题主要考查了偶函数的定义在偶函数判断中的应用，属于基础试题．7．【分析】先化简x2﹣x＞0得x＞1或x＜0，然后根据充分必要条件的定义加以判断即可．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，注意运用定义，也可以运用集合的包含关系判断，是一道基础题．8．【分析】由已知可检验f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，结合零点判定定理即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．【点评】本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．9．【分析】根据题意，依次分析验证选项中函数是否符合f（2x）＝2f（x），综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）＝，f（2x）＝＝，2f（x）＝，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．10．【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）＝，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x＝﹣，即函数的零点x＝﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A）∩B＝{﹣3，﹣1，3}．故答案为：{﹣3，﹣1，3}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．12．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣1）的值，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，，则f（﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，则f（f（﹣1））＝f（3）＝2×3﹣1＝5；故答案为：5．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．13．【分析】由题意可求函数对称轴，再结合函数图象就可以求出函数的最大值和最小值．【解答】解：因为y＝x2+3x﹣1，所以函数对称轴为，因为x∈[﹣2，3]，所以当x＝时，y的值最小为，当x＝3时，y的值最大为32+9﹣1＝17，所以函数的值域为[，17]．故答案为：[，17]．【点评】本题主要考查求二次函数在给定区间上的值域问题，主要看对称轴相对区间的位置，画出图象即可求出答案．14．【分析】直接利用基本不等式求解函数的最小值即可．【解答】解：∵x＞0，∴4x+≥2＝（当且仅当4x＝即x＝时，取“＝”号），∴当x＝时，f（x）最小值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的应用，最小值的求法，注意等号成立的条件．15．【分析】由已知条件可分析出二次函数f（x）的对称轴和开口方向，画出图象，有图象可得出a的取值范围．【解答】解：由题意可知二次函数f（x）的对称轴为x＝2，因为f（0）＜f（1），所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．①当a∈（﹣∞，2）时：，解得a≤0．②当a∈（2，+∞）时：因为f（4）＝f（0），所以，解得a≥4．综上所求：a≤0或a≥4．故答案为：a≤0或a≥4【点评】考察了二次函数的图象和性质，培养学生的数形结合的数学思想．16．【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，进而可得答案；【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【分析】（1）化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；（2）由C⊆A∪B，写出关于k的不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18．【分析】作差，因式分解，即可得到结论．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．【点评】本题考查不等式的证明，重点考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．19．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，根据f（x）＞0，解出a的范围；（2）f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只需，求出的最小值后，解关于a的不等式，可得a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝．∵f（x）＞0，∴，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f（x）+g（x）＝＝，∵f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立，∴只需．∵当x＞0时，，当且仅当x＝1时取等号，∴，∴，∴a＜0或a≥，∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪[，+∞）．【点评】本题考查了分式不等式的解法，不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能了，属中档题．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{0，1，2，3}，N＝{0，2，4，6}，∴M∩N＝{0，2}．故答案为：{0，2}．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．21．【分析】由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5，故不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．22．【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①x＞0，y＞0，z＜0，②x＞0，y＜0，z＜0，③x+z＝0，y＝0．所以①xz＜yz正确．②xy＞yz，不正确．③xy＞xz，正确．④x|y|＞z|y|，不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．【分析】（1）当时，分别求出当x≤0和x＞0时函数的最小值，进行比较即可．（2）先判断当x＞0时，函数的最小值为2，然后讨论a的取值范围，结合一元二次函数的最值性质进行比较即可．【解答】解：（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x﹣）2≥（﹣）2＝，当x＞0时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a≤，即实数a的取值范围是[0，]，故答案为：，[0，]．【点评】本题主要考查函数最值的应用，解一元二次函数以及基本不等式分别求出当x＞0和当x≤0时的最值，进行比较是解决本题的关键．注意合理分类讨论．24．【分析】求出集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，由此能求出X1+X2+X3的最大值与最小值的和．【解答】解：解：由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时，X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X3＝8+18+13＝39，当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，X1+X2+X3＝16+16+16＝48，当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X3＝16+19+22＝57，∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57＝96．故答案为：96．【点评】本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【分析】本题第一问，通过分类讨论去绝对值转化为一般一元二次不等式求解即可；第二问是含参函数单调性问题，分类讨论转化为二次函数单调性问题，考虑其对称轴即可，同时要注意在分段点处函数值的大小关系．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2+2|x﹣1|＝2．当x＜1时，x2+2（1﹣x）＝2，x2﹣2x＝0，得x＝0；当x≥1时，x2+2（x﹣1）＝2，x2+2x﹣4＝0，得．综上，方程f（x）＝2的解为x＝0或．（2）x≥1时，f（x）＝x2+a（x﹣1）＝x2+ax﹣a在[1，+∞）上单调递增，则，故a≥﹣2；0≤x＜1时，f（x）＝x2﹣ax+a，，故a≤0．且1﹣a+a≤1+a﹣a恒成立．综上，实数a的取值范围是[﹣2，0]．【点评】本题体现了分类讨论思想，对于含有绝对值的函数问题，通过分类讨论去绝对值，转化为一元二次方程和二次函数问题．26．【分析】（1）代入检验即可；（2）利用”k函数“定义求出；（3）换元法，设t＝﹣cx（x﹣1），根据t 的范围，对g（f（x））讨论，求出c的范围．【解答】解：（1）由f（x）＝x+1＝0，得x＝﹣1，所以g（f（﹣1））＝g（0）＝1，故x＝﹣1不是g（f（x））的零点，故不满足②，所以不是一对“K函数”，（2）设r为方程的一个根，即f（r）＝0，则由题设得g（f（r））＝0．于是，g（0）＝g（f（r））＝0，即g（0）＝d＝0．所以d＝0，反之g（f（x））＝f（x）[f4（x）+bf（x）+cf（x））＝0，则f（x）＝0成立，故d＝0；（3）因为d＝0，由a＝1，f（1）＝0得b＝﹣c，所以f（x）＝bx2+cx＝﹣cx（x﹣1），g（f（x））＝f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]，由f（x）＝0得x＝0，1，可以推得g（f（x））＝0，根据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2（x）﹣cf（x）+c＝0必然无实数根设t＝﹣cx（x﹣1），则t2﹣ct+c＝0无实数根，当c＞0时，t＝﹣c（x﹣）2+，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t﹣）2+c﹣，所以h（t）min＝h（）＞0，即，解得c∈（0，），当c＜0时，t＝﹣c（x﹣）2+，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t﹣）2+c﹣，所以h（t）min＝h（）＞0，即c﹣，解得c∈（0，4），因为c＜0，显然不成立，当c＝0时，b＝0，此时f（x）＝0在R上恒成立，g（f（x））＝c＝0也恒成立，综上：c∈[0，）．【点评】本题考查函数的新定义，求参数值和范围，用了分类讨论思想，二次函数的性质，难度大，综合性高．。