2、拟定计划
（1）考虑以前是否见过它? 是否见过相同 的问题而形式稍有不同? 你是否知道一个可 能用得上的定理? （2）考虑具有相同未知数或相似未知数的 熟悉的问题. （3）能否利用它的结果或方法?为了利用它, 是否引入某些辅助元素? （4）能否用不同的方法重新叙述它? （5）回到定义去. （6）如果你不能解决所提出的问题,可先解 决一个与此有关的问题. （7）是否利用了所有的已知数据?是否利用 了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所 有必要的概念?
没有一道题可以解决得 十全十美，总存在值得 我们探究的地方。
——[美]G. 波利亚
Hale Waihona Puke *波利亚的生平 *波利亚的数学教育观 *波利亚关于解题的研究
美国著名数学家、教育家。出生于匈 牙利的布达佩斯。早在中学时代，就 显示出卓越的数学才能，曾先后在布 达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地 攻读数学、物理学和哲学。1912年在 布达佩斯获约特沃斯· 洛伦得大学哲学 博士学位。1914年，在苏黎世瑞士联 邦理工学院任教,1928年任教授， 1938年任数理学院院长。1940年移居 美国，先在布朗大学任教。1942年后 一直在斯坦福大学任教。1953年起， 任该校退休教授。
一、波利亚的数学教育观
4、给数学教师的十条建议：
1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困 难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思 维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的 特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你 说出来之前先去猜,尽量让他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.
第2拟订计划 回忆原来有没有见过同类问题 (没有)，但见过相关的问题： (1)已知三角形的某些边角关系， 判断三角形的形状、解三角形 等(知三求一，已知的三个边角 元素中至少有一个是边)，题目 基本符合． (2)如果三角形可以确定，那么 此题就是求这个三角形的某个 特征曲线上的动点到三个顶点 的距离的平方和的最值问题．
值得注意的四个方面
(1)只要学生按照这个过程去寻找解 法，久而久之，不仅可以提高解题能 力，而且还可以养成规范的思维习 惯．并不是所有的题目都要像表中那 样“面面俱到”． (2)解题教学中，在教给学生学习方 法和解题方法的同时，应重视拓宽学 生的认知面，经历探索，温故知新， 体会数学的应用价值，形成创新技 能． (3)解题教学时，要关注数学的文化 价值，促进学生科学观的形成． (4)正确理解解题的内涵，谨防将解 题异化为“题海战术”．
第4回顾
（1）在方法上，本题是使用 “解析法”解决三角问题的一 个成功案例. （2）在数学思想上，本题是 数形结合数学思想的一个成功 应用. （3）在基础知识的使用上， 本题主要用到了“余弦定理”、 “勾股定理”、“参数方程” 和“三角函数的性质”等.
波利亚解题过程的四个 阶段:
1. 弄清问题——认识、并对问题进 行表征的过程 ，是成功解决问题 的一个必要前提 2. 拟订计划——是探索解题思路的 发现过程，是关键环节和核心内容。 3. 实现计划——是思路打通之后具 体实施信息资源的逻辑配置，“我 们所需要的只是耐心” 4. 回顾——是最容易被忽视的阶段， 波利亚对其作。为解题的必要环节 而固定下来，是一个有远见的做 法.
二、波利亚关于解题的研究
波利亚的怎样解题表
解题过程分为以 下四个阶段:
1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾
1 、弄清问题
（1）未知数是什么?已知数 据是什么？条件是什么?满足条 件是否可能?要确定未知数,条 件是否充分?或者它是否不充分? 或者是多余的?或者是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的 符号. （3）把条件的各部分分开, 并把它们写下来.
波利亚在众多的数学分支：函数论、变分 学、概率论、数论、组合数学以及计算数学和 应用数学领域中都颇有建树，共发表200多篇 著名论文，以他的名字命名的波利亚计数定理 则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰 出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研 究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。为了 表彰波利亚对数学的杰出贡献，1963年美国数 学协会授予他以功勋奖(Distinguished Services Award),1968年美国教育电影图书协会授予他 以数学物理最高荣誉奖(Top Honor of Mathematics and Physics)。他并先后当选为美 国国家科学院院士和法国科学院通讯院士等。
别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3， 点P为△ABC内切圆上的一个动点．求点P 到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值 和最大值．
解题过程：
第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为△ABC内切圆上的动 点． 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的 平方和的最小值和最大值．
波利亚的重要数学著作有《怎样解题》、《不 等式》(与哈代、李特伍德合著)、《数学的发现》 多卷、《数学与猜想》多卷、《数学分析中的问题 和定理》(与塞格合著)、《数学物理中的等周不等 式》(与塞格合著)等。
一、波利亚的数学教育观
1、中学数学教育的根本目的： “教会学生思考”； 2、教师教学应遵循学习过程的 三个原则： 主动学习：“学东西的最好方 式是发现它” 最佳动机：对所学知识的兴趣 循序渐进：探索，阐明，吸收 3、数学教师具备两方面的知识： 数学内容知识； 数学教学法知识；
3. 实现计划
（1）实现你的求解计 划,检验每一步骤. （2）你能否清楚地看 出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正 确的?
4、回顾
（1）能否检验这个论证? （2）你能否用别的方法 导出结果? （3）能不能一下子看出 它来? （4）能不能把这结果或 方法用于其他问题?
例 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分