第七章 线性变换练习题参考答案
一、填空题
1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝
1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为
123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .
2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .
3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1n
ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于
||A .
4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .
5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.
6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,
,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),
,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．
10．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 0和1 ．
11．线性空间3R 上的线性变换为A =),,(321x x x 132321(2,33,2)x x x x x x ++-，
变换A 在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵为102033210⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
.
二、判断题
1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,
,s V ααα∈线性无关，则向量
组12(),(),,()s σασασα也线性无关. （错） 2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （错）未必有1()(0).V V σσ-=⊕
3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2R 的一个线性变换. （错）零向量的像是（1,0）
4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1(0)σ-＝｛0｝. （正确）σ是可逆的当且仅当σ是双射.
5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （错）如平面上的向量全体在x 轴上的投影变换，W 为终点在与x 轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W σ为x 轴上的向量全体，是V 的一个子空间，但W 不是V 的子空间.
6．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．（正确）
7．已知1-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关．（ 正确 ）1P AP B -=，P 的列向量为A 的特征向量.
8．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．（错）当σ可逆时无关，当σ不可逆时相关.
9．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．（ 错 ）不含零向量.
三、计算与证明
1．判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T ，使1T AT -成对角形.
133313331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
解：先求矩阵A 的特征值与特征向量.
21
333
13(7)(2)331
E A λλλλλλ----=---=-+---. 矩阵A 的特征值为12,37,2λλ==-.当17λ=时，解方程组
1231231236330,3630,3360.x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩
得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'ξ=.当2,32λ=-时，解方程组
1231231233330,3330,3330.x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩
得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-.矩阵A 有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A 可对角化，取矩阵
111110101T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
有
1722T AT -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ=
（1）证明：σ是n P 的线性变换.
（2）求()n P σ与1(0).σ-
（1）证明：112222(,,
,)(0,,,)n n n n x y x y x y x y x y σ+++=++ 221212(0,,,)(0,,
,)(,,,)(,,,)n n n n x x y y x x x y y y σσ=+=+
12122((,,
,))(,,,)(0,,,)n n n k x x x kx kx kx kx kx σσ== 212(0,,,)(,,,)n n k x x k x x x σ==.
所以σ是n P 的线性变换.
（2）{}2()(0,,,)|,2,,.n n i P x x x P i n σ=∈=. {}111(0)(,0,,0)|.x x P σ-=∈
3．设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00020002相似．
（1）求b a ,的值；
（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．
解：(1)由矩阵A 与B 相似可得，矩阵A 与B 有相同的迹与行列式，因此有
45,46 6.
b a b a +=+⎧⎨=-⎩ 所以5,6a b ==.
(2)先求矩阵A 的特征值与特征向量.
21
11||2
42(6)(2)335
E A λλλλλλ---=--=--- 特征值为1,232,6λλ==.当1,22λ=时，解方程组
1231231
230,2220,3330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩
得矩阵A 属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'ξξ==.当16λ=时，解方程组
12312312350,2220,330.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩
得矩阵A 属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'ξ=-.因此可取矩阵
011102113P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
有B AP P =-1.
4．令n n P ⨯表示数域P 上一切n 级方阵所成的向量空间，取定,n n A B P ⨯∈，对任意的n n P X ⨯∈，定义()''X A XA B XB σ=-. 证明σ是n n P ⨯上的一个线性变换.
证明：对任意的,,n n X Y P k P ⨯∈∈，有
()'()'()''''()(),
X Y A X Y A B X Y B
A XA
B XB A YA B YB X Y σσσ+=+-+=-+-=+
()'()'()('')()kX A kX A B kX B k A XA B XB k X σσ=-=-=.
因此σ是n n P ⨯上的一个线性变换.。