cu -cd S0u-S0d
，和 B0uucd--ddcue-rT
• 无套利要求：
c V 0 e - rT c u 1 -c d ,其 e u r 中 - - T d d
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
风险中性定价
• 很自然可以被解释为是股票价格上涨的概率 (风险中性概率或等价鞅测度)
• 1.10 = 今天的$1投资在1年后的财富 • 解方程组得到 0 .5 ,B 0 - 1.5 45 • B 0 的负号意味者借入
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
• V 0 0 .5 4 - 1 0 .5 4 5 5 .45 • 无套利要求 cV05.45 • 含义：
p 的值从未使用过 期望收益率无关紧要!
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes模型的假设
• 完美的资本市场，没有套利机会 • 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布
朗运动 • 短期利率已知，并且不随时间发生变化 • 在期权的有效期内，标的股票不发放股利
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票价格的动态过程
• 要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何 变动
• 简单但非常有力的一个模型是二项式模型 - 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能 有两个可能的取值 - 当时间间隔足够短，这是很好的近似 - 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理 - 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
• 这个组合称为合成的衍生证券 • 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于
交易的衍生证券的价格 • 组合的合成等同于对冲
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
• 组合(合成看涨期权) = 股票+ 无风险资产 V 0 S 0 B 0
• 组合复制了该期权在到期日的收益 4 8 B 0 1 .1 0 8 3 B 2 0 1 .1 0 0
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
• 组合的价值为：
-f f S S
• 在跨度为 t的短期内，它的价值的变动为：
-f f S S
-f t
122S2
2 f S2
t
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
• 因为该组合的收益率没有不确定性，所有它 必须等于无风险利率。因此 r t -f S f S r t
• 从时间t到T 收益率的方差为 2T-t
• 从时间t到T 收益率的标准差为 T-t
• 收益率的分布：n , ，其中 T-t
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票收益率的分布
• 股票价格服从对数正态分布，即：
ln ST~N ln S -2 2 ,
0.2
T- t
0
0
20
对数正态分布
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes 偏微分方程 的导出
• SStSz
• f S f S ft 1 22 S 2 S 2 f 2 t S f S z
• 构造一个组合 ，该组合的构成如下： － 1单位衍生证券的空头 － f 股股票多头 S
第八课 期权定价模型
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
期权定价中的难点
• 债券和股票的估价：贴现现金流 • 期权的估价
- DCF 不适用 - 给定到期日标的资产价格的分布，可以很
容易地计算期权在到期日的收益 - 难于估计折现率
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
二项式期权定价模型
• c u 1 -c d 可以被解释为是该看涨期权在
到期日的收益
• 该期权的价值是它在到期日的期望收益按无 风险利率折成的现值
• 在 下, ESTS0erT
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Delta对冲组合
• c S0B 0 S0-c- B 0 • -B0的符号为正，意味着投资 • 由 cu -cd 股股票和一个看涨期权空头构成
立
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Wiener过程的特征
• zT-zt的均值为0 • zT-zt的方差为T-t • zT-zt的标准差为 T-t
• z T - z t ~ n 0 ,T - t
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
股票收益率的特征
• 从时间t到T 收益率的均值为 T-t
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
单期二项式期权定价的一般化
今日
S0 c?
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
1年
S 0u cu
S 0d cd
概率
p
1- p
• 该组合复制了该看涨期权在到期日的收益
S 0 uB 0 erT cu S 0 d B 0 erT cd
• 解方程组得到：
单期二项式模型
今日
1年 $140
$100
$80
• 收益率被定义为价格的相对数 • 期望收益率= 1.1 • 期望方差 = 0.09
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
概率
1 2
1 2
通过复制来给期权定价
• 为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和 无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期 日的收益
S0u-S0d
的组 被称为 套头比（hedge ratio）
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
Black-Scholes期权定价模型
• 期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性 来源
• 无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造 • 无风险组合必然获得无风险利率 • 这导致了Black-Scholes偏微分方程 (PDE)
• 连续时间模型 假设股票价格服从几何布朗运动（GBM）
d S S d S t dW
其中：
：期望收益率
：波动率 (假设为常数) dW：标准Wiener过程
© 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002
• 离散时间近似
Stt
S • Z为Wiener过程，则
－ z t
其中是 n(0,1)分布的一个随机实现 － 任意互不重叠的两期的z的取值相互独