第11章 电磁感应11.１ 基本要求 １理解电动势的概念。

２掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，能熟练地应用它们来计算感应电动势的大小，判别感应电动势的方向。

３理解动生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的动生电动势。

４理解感生电场、感生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的感生电动势。

５理解自感现象和自感系数的定义及物理意义，会计算简单回路中的自感系数。

６理解互感现象和互感系数的定义及物理意义，能计算简单导体回路间的互感系数。

７理解磁能（磁场能量）和磁能密度的概念，能计算一些简单情况下的磁场能量。

８了解位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。

11.２ 基本概念１电动势ε：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即Wqε=２动生电动势：仅由导体或导体回路在磁场中的运动而产生的感应电动势。

３感生电场k E ：变化的磁场在其周围所激发的电场。

与静电场不同，感生电场的电 场线是闭合的，所以感生电场也称有旋电场。

４感生电动势：仅由磁场变化而产生的感应电动势。

５自感：有使回路保持原有电流不变的性质，是回路本身的“电磁惯性”的量度。

自感系数L ：//m L I N I =ψ=Φ６自感电动势L ε：当通过回路的电流发生变化时，在自身回路中所产生的感应电动势。

７互感系数M ：211212M I I ψψ== ８互感电动势12ε：当线圈２的电流2I 发生变化时，在线圈１中所产生的感应电动势。

９磁场能量m W ：贮存在磁场中的能量。

自感贮存磁能：212m W LI =磁能密度m w ：单位体积中贮存的磁场能量22111222m B w μH HB μ===１０位移电流：D d d I dt Φ=s d t∂=∂⎰g DS ，位移电流并不表示有真实的电荷在空 间移动。

但是，位移电流的量纲和在激发磁场方面的作用与传导电流是一致的。

１１位移电流密度：d t∂=∂D j 11.３ 基本规律１电磁感应的基本定律：描述电磁感应现象的基本规律有两条。

（１）楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的改变。

楞 次定律是判断感应电流方向的普适定则。

（２）法拉第电磁感应定律：不论什么原因使通过回路的磁通量（或磁链）发生变化，回路 中均有感应电动势产生，其大小与通过该回路的磁通量（或磁链）随时间的变化成正比，即mi d dtεΦ=-２动生电动势：()BBK AAi εd d ==⨯⎰⎰g g E l v B l ，若0i ε>,则表示电动势方向由A B →;若0i ε<,则表示电动势方向B A →３感生电动势：m K ls i d Φd εd d dtdt =⋅=-=-⎰⎰g ÑBE l S （对于导体回路）BK Ai εd =⎰g E l （对于一段导体）４自感电动势：L dIεL dt=- ５互感电动势：12212d ΨdIεM dt dt=-=- ６麦克斯韦方程组sd ⋅⎰ÑD S =0VdV q ρ=⎰l d ⋅⎰ÑE l = - s d t∂⋅∂⎰BS =0sd ⋅⎰ÑB Sc l sd d t ∂⎛⎫⋅=+⋅ ⎪∂⎝⎭⎰⎰ÑD H l j S11.４ 学习指导学习法拉第电磁感应定律要注意，公式中的电动势是整个回路的电动势，式中负号是楞 次定律的要求，用以判断电动势的方向。

由于动生电动势的非静电力为洛仑兹力，因此，学 习这一部分内容时，复习并掌握洛仑兹力的计算和方向判断是很有必要的。

感生电动势的 学习和应用是本章的难点，学习时要多从感生电场的物理意义上去理解，感生电场由变化的 磁场所产生，它是产生感生电动势的非静电力的提供者，它既是非静电场，也是非保守场。

感生电场的问题解决了，感生电动势的问题自然也就容易解决。

应该注意，无论是动生电动 势还是感生电动势，原则上均有两种求法：一种是利用公式()BA i εd =⨯⎰g vB l （动生电动势）或BK Ai εd =⎰g E l （感生电动势）来求；另一种是应用法拉第电磁感应定律mi d dtεΦ=-来解。

不过，用法拉第电磁感应定律求出的是整个闭合回路的感应电动势，而不是某一段 导体的感应电动势。

因此，利用法拉第电磁感应定律来求一段导体的感应电动势时，一要注 意“补”成闭合回路，二要注意将其他各段导体的电动势或电动势之和求出来，然后通过求算回路的感应电动势与其他各段导体的电动势之差才能得出该段导体的感应电动势。

一般来 说，求一段导体的感应电动势用积分公式求解要简便些。

位移电流是电磁理论中的一个基本概念（假设），学习时要从其产生根源及计算两个方 面去进行理解。

麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，学习时要注意从两个层面上去理解 它的物理意义：一是方程中各字母的物理意义；二是整个方程式的物理意义。

例1 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电势差M N V V -．解:作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时,穿过回路所围面积磁通量不变因此 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又 0cos d ln 02a bMN a bIv a bvB l a bμεππ+-+==-<-⎰表明MN 中电动势方向为N M →.所以半圆环内电动势MeN ε方向沿N e M →→方向， 大小为ba b a Iv -+ln20πμ M 点电势高于N 点电势，即0ln2M N Iv a bV V a bμπ+-=- 例2 如图所示，长直导线通以电流I =5A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b =0.06m ，宽a =0.04m ，线圈以速度v =0.03m ·s -1垂直于直线平移远离．求：d =0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．abO gIvNM例1图e例2图解: AB 、CD 运动时不切割磁感线，所以不产生感应电动势．DA 产生电动势01()d 2dAi DIvBb vbμεπ=⨯⋅==⎰v B l 10i ε>,表示 方向为D A →. BC 产生电动势02()d 2π()Ci BIvba d με=⨯⋅=-+⎰v B l20i ε<,表示方向为C B →.回路中总感应电动势801211() 1.6102πi i i Ibv V d d aμεεε-=+=-=⨯+方向沿顺时针．例3 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B 中，B 的方向与回路的法线成60°角，B 的大小为B =kt (k 为正常数)．设t =0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向．解: 取回路绕行正方向为逆时针方向,则回路所围面积的正法线方向即为图示的方向 任意时刻穿过回路面积的磁通量为21d cos602m Blvt klvt Φ=⋅=︒=⎰B S 故 d d mi klvt tεΦ=-=- 0i ε<表明电动势方向与所规定绕行正方向相反,即沿顺时针方向．例3图例4 两根平行长直导线，横截面的半径都是a ，中心相距为d ，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l 的一段自感为0lnl d aL aμπ-=． 解: 设给两导线中通一电流I ,左侧导线中电流向上,右侧导线中电流向下.在两导线所在的平面内取垂直于导线的坐标轴r ,并设其原点在左导线的中心,如图所示,由此可以计算通过两导线间长度为l 的面积的磁通量. 两导线间的磁感强度大小为001222π()IIB B B πrd r μμ=+=+-取面积元r l S d d =,通过面积元的磁通量为0022π()m I I d d Bldr =ldr πr d r μμ⎡⎤Φ=+⎢⎥-⎣⎦g B S = 则穿过两导线间长度为l 的矩形面积的磁通量为 000011()(ln ln )22π()2π2πd ad a m aa I I Il Il d a aldr dr πr d r r r d a d a μμμμ--⎡⎤-Φ=+=-=-⎢⎥---⎣⎦⎰⎰ aad Il-=ln π0μ 故 0ln πm l d aL I aμΦ-== 例5 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环,其尺寸如附图(a)所示，共有N 匝(图中仅画出少量几匝)．试求： (1)此螺线环的自感系数；例4图(2)若导线内通有电流I ，环内磁能为多少?解: (1)设有电流I 通过线圈,线圈回路呈长方形,如图(b)所示,由安培环路定理可求得在12R r R <<范围内的磁场分布为02NIB rμπ=通过螺绕环横截面的磁通为 210021d ln2π2πR m R NINIhR h r r R μμΦ==⎰磁链 2021ln2πm N IhR N R μψ=Φ=故 2021ln 2πN h R L I R μψ==(2) 磁能 221LI W m = 带入可得 22021ln4πm N I hR W R μ=11.5习题详解11.1 在一线圈回路中，规定满足如图所示的旋转方向时，电动势i ε, 磁通量m Φ为正值。

例5图rdr若磁铁沿箭头方向进入线圈，则有（ ） (A) /0m d dt Φ<,0i ε< (B) /0m d dt Φ>, 0i ε< (C) /0m d dt Φ>, 0i ε> (D) /0m d dt Φ<, 0i ε> 解 正确答案（B ）回路取图示旋转方向时，回路正法线方向向右，与磁感强度B 的方向相同，所以穿过线圈所围面积的磁通量为正，即0m Φ>，当磁铁插入线圈时，穿过线圈的磁通量增加，故/0m d dt Φ>，由电磁感应定律可知0i ε<。

所以选择答案（B ）。

11.2一金属圆环旁边有一带负电荷的棒，棒与环在同一平面内，开始时相对静止；后来棒忽然向下运动，如图所示，设这时环内的感应电动势为i ε ，感应电流为 I ，则（ ）（A ）0i ε=， 0I =（B ）0i ε≠，0I =（C ）0i ε≠，0I ≠ ， I 为顺时针方向 （D ）0i ε≠，0I ≠ ，I 为逆时针方向 解 正确答案（C ）当带负电的细棒相对圆环向下运动时，相当于圆环的右侧形成一向上的电流。

而原来没有相对运动时是没有这一电流的。

这样在圆环内产生了一向外的磁场，且使得圆环内的磁通量增加，根据楞次定律可判断得知，圆环内产生一顺时针方向的感应电流。