a、 b a b cos a , b 叫做 a 、 b 的数量积,记作 a b 即 a的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量
, 则 .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
课堂练习
1. 已 知 a 2 2 , b 2 2 ,a b

2
,
则a 与b
135 的夹角大小为_____.
0, b 0
2.判断真假: 1)若 a b 0 , 则 a
2) (a b ) c a (b c ) 2 2 2 3) p q ( p q) 2 2 4) p q p q p q
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴、⑵是显然成立的 思考：你能证明分配律成立吗？
另外 a b a 及a b 0 ¿ c ¿ b c a 0或 b 0
练习运算
数量积不满足结合律即 （a b ) c a ( b c ) 注意：
A'
B'
D C
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 )
2 2 2
A B
85 | A C |
85
空间向量的数量积运算(一)
引 入 数量积运 算定义 课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F

S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
2 2 | A C | ( A B A D A A ) 2 2 2 | AB | | AD | | AA | 2 ( A B A D A B A A A D A A )
A
A1
a b
B1
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如图 是 在 向上的射影向量.
B
A1 B 1
b
a
方
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、 , e 是单位向 b 量有下列性质: ① a e a co s a , e ；
( )
( ) ( ) ( )
A B C D A B C D
AB 4
A D 3 , A A 5 , B A D 90 , B A A D A A 60
AC
D' C'
解： A C A B A D A A
空间向量数量积
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义:
如图,已知两个非零向量 a 、 ,在空间任取 b 一点 O ,作 O A a , O B b ,则角 A O B 叫做向 量 a 与 b 的夹角,记作: a , b . A a ⑴范围: 0 ≤ a , b ≤ a B O a , b =0 时, a 与 b 同向; b b a , b =π 时, a 与 b 反向 ⑵ a , b ＝ b , a ⑶如果 a , b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b 2
②a b a b 0 ;
③
注：
a
2
a a
也就是说
a
2 a
.
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
这些运算律 ⑴ ( a ) b (a b ) 成立,说明数量积 ⑵ a b b a (交换律) 不仅有用,而且运 ⑶ a ( b c ) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方 便