高二年级下学期期中考试数学科试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生1600名，其中高三学生400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．402．（理科）已知~(,)B n p ξ，E ξ=8，D ξ=1.6，则n 与p 的值分别为（ ） A ．10和0.8 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．40和0.8（文科）从总体中抽取的样本数据共有m 个a ，n 个b ，p 个c ，则总体的平均数x 的估计值为（ ） A ．3a b c ++ B ．3m n p++ C ．3ma nb pc++ D ．ma nb pc m n p++++3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（ ） A ．34B ．18C ．78D ．584．若*(31)()nx n N -∈的展开式中各项的系数和为128，则2x 项的系数为（ ）A ．189B ．252C ．-189D ．-2525．从6名田径运动员中选出4人参加4×100 m 接力赛，若甲、乙两人都不能跑第一棒，则不同的参赛方案有（ ）种．A ．180B ．240C ．300D ．3606．已知n 为奇数，且n ≥3，那么112217777n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被9除所得的余数是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．87．某仪表显示屏上有一排八个编号小孔，每个小孔可显示红或绿两种颜色灯光．若每次有且只有三个小孔可以显示，但相邻小孔不能同时显示，则每次可以显示（ ）种不同的结果．A ．20B ．40C ．80D ．1608．现有20个零件，其中16个一等品，4个二等品．若从20个零件中任取2个，那么至少有一个是一等品的概率是（ ） A ．11164220C C C B ．111619220C C C C ．2162201C C -D ．11216416220C C C C +9．七张卡片上分别写有0、0、1、2、3、4、5，现从中取出三张后排成一排，组成一个三位数，则共能组成（ ）个不同的三位数．A ．100B ．105C ．145D ．15010．把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是（ ） A ．40243B ．1027C ．516D ．1024311．以三角形的三个顶点和它内部的四个点共7个点为顶点，能把原三角形分割成无重叠的小三角形的个数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 12．在2006()x y z ++的展开式中，合并同类项后共有（ ）项．A ．12007C B ．22007C C ．22008C D ．32008C 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（理科）若随机变量2~(2,2)N ξ，则1()4D ξ的值为__________________．（文科）在某市高三数学统考的抽样调查中，对90分 以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为_____________人．14．方程2551616x x x C C --=的解集是____________________． 15．若某人投篮的命中率为p ，则他在第n 次投篮才首次命中的概率是________________．16．从1到10这10个数中任取不同的三个数，相加后能被3整除的概率是_____________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）从集合A={1，3，6，8，9}和集合B={2，4，5，9}各取一个数分别记作m 、n ，（1）求m >n 的概率；（2）求m <n 的概率．18．（本小题满分12分）有A 、B 、C 、D 四封信和1号、2号、3号三个信箱，若四封信可以随意投入信箱，投完为止．（1）求3号信箱恰好有一封信的概率；（2）求A 信没有投入1号信箱的概率．19．（本小题满分12分）若非零实数m 、n 满足2m +n =0，且在二项式12()mn ax bx （a >0，b >0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，（1）求常数项是第几项；（2）求a b的取值范围．20．（本小题满分12分）在一次由甲、乙、丙三人参加的围棋争霸赛中，比赛按以下规则进行，第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者．根据以往战绩可知，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，（1）求比赛以乙连胜四局而告终的概率；（2）求比赛以丙连胜三局而告终的概率．21．（本小题满分12分）学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人．现从中选2人，其中至少有一人既会唱歌又会跳舞的概率为35．(1)求文艺队的人数；(2) （理科）设ξ为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，求Eξ．（文科）若选出的2人一人唱歌，一人跳舞，求有多少种不同的选派方案？22．（本小题满分14分）一个口袋中装有三个红球和两个白球．第一步：从口袋中任取两个球，放入一个空箱中；第二步：从箱中任意取出一个球，记下颜色后放回箱中．若进行完第一步后，再重复进行三次第二步操作，（理科）设ξ表示从箱中取出红球的个数，求ξ的分布列，并求出Eξ和Dξ．（文科）分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率．参考答案一．B 、（理）A （文）D 、D 、C 、B C 、D 、D 、B 、A B 、C二．（13）（理）14（文）810； （14）{1，3}； （15）1(1)n p p --； （16）720三．（17）（1）P （m >n ）=13331542+++=⨯； ------（6分）（2）P （m <n ）=431195420+++=⨯． ------（12分） (或利用P （m <n ）=1- P （m >n ）-P (m =n )=119125420--=⨯) （18）（1）设3号信箱恰好有一封信的概率为P 1， -------（1分）则P 1 =134423C ⋅=3281； ------（6分）（2）设A 信没有投入1号信箱的概率为P 2， -------（7分）则132242333C P ⋅== ． ------（12分） （19）（1）设12112()()r m r n rr T C ax bx -+=为常数项， ------（1分）则可由(12)020,0,0m r nr m n m n -+=+=≠≠⎧⎨⎩------（3分）解得 r=4， ------（5分）所以常数项是第5项． ------（7分） （2）由只有常数项为最大项且a >0，b >0，可得48457512124843931212C a b C a b C a b C a b>>⎧⎨⎩ -------（10分） 解得8954ba <<------（12分）（20）（1）设乙连胜四局的概率为1P ，则1(10.4)0.5(10.4)0.50.09P =-⨯⨯-⨯= -------（6分） （2）设丙连胜三局的概率为2P ，则20.40.6(10.5)0.6(10.4)0.50.6(10.5)0.162P =⨯⨯-⨯+-⨯⨯⨯-= ------（12分） （21）（1）设文艺队中既会唱歌又会跳舞的人数为x ，则只会唱歌的人数为3-x ，只会跳舞的人数为5-x ，总人数为8-x 当x =1时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P =162727C C =,不合题意--------(2分) 当2≤x ≤3时，由选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P =11282228835x xx xxC C C CC ---+=-------(4分）可解得2x =, 所以文艺队共有6人． -------（6分）（或验证x =2,x =3时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率,得2x =） （2）（理）由24262(0)5C P Cξ===，1124268(1)15C C P Cξ===，22261(2)15C P Cξ===，------（9分）得28101251515E ξ=⨯+⨯+⨯=23-------（12分）（文）若从既会唱歌又会跳舞的队员中选出1名队员唱歌，则有11248C C =种不同的选派方案， --------（8分）若从只会唱歌的队员中选出1名队员唱歌，则有11155C C =种不同的选派方案， - -------（10分）因此，共有8+5=13种不同的选派方案． --------（12分） （22）（理）解法一：设ξ表示从箱中取出红球的个数，则ξ可以取0、1、2、3， -------（1分）1）当0ξ=时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球都是白球，此时事件发生的概率为2225110C C=；第二种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =，因此137(0)104040P ξ==+=-------(3分)2) 当1ξ=时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为1113232359(1)240C C C P C ξ===⋅ -------(5分)3）当2ξ=时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为1123232359(2)240C C C P C ξ===⋅ -------(7分)4）当3ξ=时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =⋅；第二种可能是：第一步取出的2个球都是红球，此时事件发生的概率为2325310C C =，因此333(3)40108P ξ==+= --------(9分)所以ξ的分布列为--------（10分）79939012340404085E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= --------（12分）22229799999363(0)(1)(2)(3)5405405405850D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ------（14分）解法二：第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为2225110C C =，箱子中有1个红球的概率为11322535C C C=，箱子中有2个红球的概率为2325310C C=， -------（3分）则30313137(0)1()010521040P C ξ==⨯++⨯=⨯，123131139(1)0()010*******P C ξ==⨯+⨯+⨯=， 223131139(2)0()010*******P C ξ==⨯+⨯+⨯=， 33313133(3)0()11052108P C ξ==⨯++⨯=⨯， --------（9分）以下同解法一（文）解法一：设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为123P P P 、、 ----（2分） 从箱中取出一个红球时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11132312359240C C C P C ==⋅ --------(6分)从箱中取出两个红球时，完成事件只有一种可能：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11232322359240C C C P C ==⋅ -------(10分)从箱中取出三个红球时，完成事件有两种可能，第一种可能是：第一步取出的2个球1红1白，此时事件发生的概率为11322353240C C C =⋅；第二种可能是：第一步取出的2个球都是红球，此时事件发生的概率为2325310C C=，因此333340108P =+=------(14分)解法二：设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为123P P P 、、 ----（2分） 第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为2225110C C =，箱子中有1个红球的概率为11322535C C C =，箱子中有2个红球的概率为2325310C C =， -------（5分）则12311311390()010*******P C =⨯+⨯+⨯=， --------（8分） 22321311390()010*******P C =⨯+⨯+⨯=， --------（11分） 3333131330()11052108P C =⨯++⨯=⨯． -------（14分）。