不确定度数据表示方法一.不确定度概述：在科学实验、产品生产、商业贸易及日常生活的各个领域，我们都要进行测量工作。
测量的目的是确定被测量的值，测量不确定度表示测量结果的不确定或不肯定的程度，也就是不可信度。
定义：不确定度是与测量结果相关联的，用于合理表征被测量值分散性大小的参数。
分类及表示：①标准不确定度：以标准差表示的不确定度，以µ表示。
②扩展不确定度：以标准不确定度的倍数表示的不确定度，以U表示。
(扩展不确定度表明了具有较大置信概率的区间的半宽)③合成标准不确定度：各标准不确定度分量的合成，以µc 表示（测量结果标准差的估计值）1.1.合成标准不确定度被测量y 由N 个其他量x i 的函数确定时，假设其函数关系为y=f （x 1，x 2，……，x N ）上式称为不确定度传播率。
为灵敏系数，r （x i ，x j ）为相关系数。
1.1.1. 当被测量的函数形式为：y =A 1x 1+A 2x 2+……+A N x N ，且各输入量之间不相关时，合成标准不确定度为：若用灵敏系数表示：∑∑∑=-=+=∂∂⋅∂∂+∂∂=N i N i Ni j j i j i j i i i c x u x u x x r x f x f x u x f y u 111122)()(),(2)(][)(i x f ∂∂∑∑∑===⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂∂⋅∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂=N i N i N j j i j i i j i i i c x u x u x x f x f x x f x u x f y u 1112232222)()(21)(][)(2∑=∂∂=N i i i c x u x f y u 122)(][)(∑==Ni i i i c x u A y u 122)()(∑∑====ni i N i i i i c y u x u c y u 12122)()()(∑∑∑=-=+=∂∂⋅∂∂+∂∂=N i N i Ni j j i j i ji i i cx u x u x x r x fx f x u x f y u 111122)()(),(2)(][)(1.1.2. 当被测量的函数形式为： 合成标准不确定度为：1.1.3若所有输入量都相关，且相关系数为1时，合成标准不确定度为： u c (y)：合成标准不确定度u i (x ) ：各输入量的标准不确定度 νi ： u i (x )的自由度νeff 越大表明评定的合成标准不确定度u c (y)越可靠。
自由度的含义：自由度是方差之不确定度的度量，由于测量不确定度用标准偏差(方差的正平方根)表示，自由度也就是“测量不确定度的不确定度”。
自由度大表示测量不确定度的不确定度小，即测量结果之不确定度的可信度高，反之亦然。
用第一ppt 的例子来说明，当自由度很大时，表示“被测量的值落在 831。
9 ℃ ～839.1 ℃区间的置信水平约为 95 ﹪”的可信度高，对于自由度 v= 12，3.6 ℃的不可信度大约是 21 ﹪。
1.2扩展不确定度 分为两种U 和U p 。
1.2.1．U ：就是合成标准不确定度的倍数，U =ku c ，即由合成标准不确定度直接乘以包含因子k （ k 的典型值为2~3） 1.2.2. U p ：对于给定的置信概率P ，扩展不确定度记为U p =k p u c ，此时包含因子 k p 的选择如下如果组成u c 的不确定度分量较多，且各分量对不确定度的影响不大时，据中心极限定理，合成不确定度u c 的分布接近正态分布。
若有效自由度充分大，按正态分布计算若有效自由度较小，按t 分布计算（按有效自由度查表）如果u c 的概率分布为非正态分布时，应根据相应的分布确定k p 。
二．不确定度的评定测量不确定度的评定方法分为两类，即A 类和B 类，两者之间无主次之分，享有同等地位。
2.1 A 类不确定度评定A 类不确定度是采用观察列进行统计分析的方法来评定标准不确定度的，用标准误差来表示。
测量列算术平均值的标准误差σx ̅为 σx ̅=σ√nn P nP P x x x y ⋅⋅⋅⋅=2121∑==Ni i i i c x x u P y y u 12]/[）（）（∑=∂∂=N i i ic x u x fy u 1)()(当测量次数较少时，其估算值会偏大，这是，从理论上可得A类不确定度的估算值为u A=t（n-1）·σx̅式中，t（n-1）是一个大于1的修正值（被称为t分布临界值）。
测量次数n不同，修正量t（n-1）不同。
下表给出了不同测量次数n对应的修正量。
2.2 B类不确定度的评定实则基于对一个事件发生的信任程度。
很多不确定度分量实际上还必须用别的非统计方法来评定。
2.2.1 B类不确定度评定的信息来源主要有六项：①：以前的测量数据。
②：对有关数据资料和测量仪表特性的了解和经验。
③：生产部门提供的技术说明文件。
④：校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前还在使用的极限误差等。
⑤：手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度。
⑥：规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或重复性限R。
2.2.2 B类不确定度的评定方法采用不同于A类的其他方法估算。
首先，根据仪器、仪表说明书，国家标准，材料特性等来确定测量误差限△，例如，已知仪表精度等级和量程可计算出误差限。
其次，确定测量误差的分布，常见的有正态分布和均匀分布。
最后，将测量误差限（对应的置信度≈1）换算成相似的标准误差u j（对应一倍的标准误差置信度）。
对于均匀分布的误差，其B类不确定度估算为u j=√3对于服从正态分布的误差，其B类不确定度估算为u j=△3三．测量不确定度评定实例3.1用电压表测量稳压电源的输入电压3.1.1测量方法及测量的数学模型用已经校准的电压表测量一台稳压电源的输出电压U 。
电压表的分辨力为0.01V 。
电压表校准的不确定度和表的分辨力引起的不确定度可以忽略不计。
因此，多次直接测量，数据的平均值即为输出电压的最佳估计值。
故测量的数学模型可以表示为：U ＝U 测 （1.1）3.1.2测量数据进行了10次测量，测量数据及相关计算列于表1.1表1.1 输出电压测量数据及相关计算检查平均值和残差的计算是否有误，可将正残差与负残差分别相加，若两个和的绝对值不相等，且两者之差大于末位的1/2，则可判定计算有误。
本例中183i i υυ∑+=∑-=，再复核计算，表明计算正确。
也可直接求残差的代数和看是否为零，或小于末位的半个单位来进行判断。
10次测量值的平均200.56V 10iU U ∑==测 （1.2）即为输出电压U 的最佳估计值。
3.1.3根据贝塞尔公式计算测量列的实验标准差 单次测量值的实验标准差()()0.477V i S U ==B（1.3）S （U i ）表征测量列中测量数据的分散性。
假定测量值服从正态分布，就可以估计，大约有68.3％的测量值处在（200.56±0.48）V 区间，95％的测量值处在（200.56±2×0.48）V 区间，99.7％的测量值处在（200.56±3×0.48）V 区间。
残差绝对值大于3×0.48V 的测量值不应该出现（小概率事件）。
如果出现，可判定为粗大误差。
10次测量的每一个测量值的实验标准差均为0.48V 。
这10个测量值仅是测量值总体的一个样本。
由此计算的标准差仅是这个样本的标准差，而不是总体标准差。
总体标准差可表示为：()i U n σ=→∞（1.4）这无法实际测得，只是理论上存在，又叫理论标准差。
而样本标准差仅是理论标准差的有偏估计值。
样本方差S 2（U i ）才是总体理论方差σ2（U i ）的无偏估计值，即最佳估计值。
所以在统计分析中，多用方差作为数据分散性的度量。
标准差是方差的正平方根，在实际工作中使用更为方便。
3.1.4计算平均值的实验标准差()(()0.15V i S U S U =B 测（1.5）可以这样理解S （U 测）的含义：再进行若干组测量，每组n 个测量值均可求得一个平均值和相应的测量列的标准差。
若测量条件不变，各组测量列的标准差相互很接近。
各组测量值的平均值不会完全一样，它们也构成一个数列。
由这个数列也可用贝塞尔公式计算它的标准差。
由统计理论可证明，平均值数列的标准差等于单个测量列标准差的1/n 倍，即为（1.5）式。
这表明，平均值数列的分散性比单一测量列的分散性小，即各平均值比测量列中的测量值相互之间更靠近。
v ＝n －a 叫做自由度，它是求和的项数n ，减去对和的限制数a 。
上例中，n ＝10，限制条件仅有残差之和为零，即Συi ＝0，故a ＝1，因而v ＝10－1＝9。
自由度越大，计算的样本标准差就越接近总体标准差，所得结果的可信度就越高。
3.1.5测量结果报告平均值的实验标准差就是它的标准不确定度。
本例中，这是唯一的不确定度来源。
认为近似服从正态分布，测量结果可以表示为：输出电压 U ＝200.56V ，u ＝S （U 测）＝0.15V ， （1.6）或者 U ＝200.56V ±2×u＝200.56V ±0.30V ，p ＝95% （1.7）0.30V 即为扩展不确定度。
说明：测量值的分散是输出电压的随机变化和测量仪表读数随机起伏的综合反映。
3.2用发光强度标准灯校准光照度计的示值3.2.1校准方法如图（2.1）所示，将光强标准灯和照度计的光度探测器安置在测光导轨上，并调整好它们的状态，设定两者之间的距离为l 。
则标准灯在接收面上产生的标准照度值为E S ＝I / l 2 （2.1）式中，I 为标准灯的发光强度，I ＝268.8 cd ，l ＝1.600 m ，故有：E S ＝268.8 cd/（1.600 m ）2＝105.0 lx （2.2）由照度计测得的照度示值为E t图2.1 发光强度标准灯校准光照度计示意图3.2.2数学模型如上所述，校准的数学模型可以表示为2t s t IE E E E l ∆=-=-（2.3）式中，△E 为照度计的示值误差。
3.2.3输入量的标准不确定度评定（1） 由△E 分别对E t ，I 和l 求偏导数，即得相应的灵敏系数()()()12233112tE c E E c I l E I c l l ∂∆⎫==⎪∂⎪⎪∂∆⎪==-⎬∂⎪⎪∂∆==⎪∂⎪⎭（2.4）由此可得：()()()()()()1122233312t t u c u E u E u c u I u I l I u c u l u l l ⎫==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪==⎪⎭（2.5）（2） E t 为照度计10次测量所得示值E ti 的平均值，即E t ＝ΣE ti /10。