一元二次方程
定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③
整式方程．．．．就是一元二次方程。
例1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
Ａ．()()12132+=+x x Ｂ．02112=-+x x
Ｃ．02=++c bx ax Ｄ．1222-=+x x x
练习 1．方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）
Ａ．2m =± Ｂ．2m = Ｃ．2m =- Ｄ．2m ≠±
2．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则a 的值为（ ）
Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．1或1- Ｄ．2
1
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例3、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a
练习：
1、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
2、若0122=--a a ，0122=--b b ，则a
b b a +的值为 。
3、方程()()02=-+-+-a
c x c b x b a 的一个根为（ ）
A 1-
B 1
C c b -
D a -
三种方法求解一元二次方程
（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
（2）方法：①（配方法）直接开方法；②公式法；③因式分解法
例1、（1）()()2
221619+=-x x （2）11162492=+-x x
例2、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
例3、若()()044342
=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。
例4、（1）5m 2 – 17m + 14=0 （2）01432
=--x x
例5、（1）已知023222=--y xy x ,则
y
x y x -+的值为 。
（2）已知0232=+-x x
，求代数式()1
1123-+--x x x 的值。
练习： 1、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。
2、、已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。
3、已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则
y x y x -+的值为 。
4、解方程： ()
04321322=++++x x
5、（1）已知04112
2=---+
x x x x ，则=+x x 1 .
（2）已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
一元二次方程根与系数之间的关系
（1）对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。
（2）如果设1x 、2x 是方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两个实数根，那么1x +2x =b a ；1x 2x =c a ； 例1、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
例2、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
例3、关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
例4、设a 、b 、c 是ΔABC 的三边的长,且关于x 的方程(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b=0有两个相等的实数根,试判定ΔABC 的形状.
练习：
1、关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2、知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。
3．已知：a 、b 、c 为ΔABC 的三边，当m>0时，关于x 的方程c （x 2+m ）+b （x 2－m ）－2
ax =0
有两个相等的实数根。
求证ΔABC 为Rt Δ。
4、关于x 的方程2
2(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值.
5、已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=
（1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．
作业：
一、选择题
1．解方程：3x 2+27=0得（ ）.
(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个
2．方程（2-3x ）+（3x-2）2=0的解是（ ）.
(A),x 2=-1 (B) , (C)x 1=x 2= (D)
,x 2=1 3.方程(x-1)2=4的根是( ).
(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
4.用配方法解方程:正确的是( ).
(A) (B)
(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解
5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ).
(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2
(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=2
6．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.
（A）（B）（C）（D）都不对
二、填空
7．方程9x2=25的根是___________...
8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.
9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.
10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.
三、解答题
解方程：
12、（1）（2）
13、已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2。