函数模型的应用实例编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一、解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).要点二、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：20.1 2.643, (010)()59, (1016)3107, (1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩．问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？【答案】开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．【解析】 当0＜x ≤10时，f (x)=―0.1x 2+2.6x+43=―0.1(x ―13)2+59.9，可知f (x)在（0，10）上单调递增，故其最大值为f (10)=―0.1×(―3)2+59.9=59．显然，当16＜x ≤30时，f (x)递减，f (x)＜－3×16+107=59．因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．【总结升华】（1）解决分段函数模型问题的关键在于“分段归类”，即自变量属于哪一段就选用哪段的函数【解析】式来分析解决问题．（2）求解“已建立数学模型”的应用问题关键是抓住已建立的函数模型，选择合适的方法求解建立的数学模型．注意一定要“读”懂模型．例2. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400, (0400)()280000, (400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数f (x)．（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）【思路点拨】这里已有函数模型，只需对x 分段讨论，写出利润的表达式即可。

【答案】（1）2130020000, (0400)()260000100, (400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；(2) 每月生产300台仪器时，利润最大．最大利润为25000元．【解析】（1）设每月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而2130020000, (0400)()260000100, (400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩．（2）当0≤x ≤400时，21()(300)250002f x x =--+， ∴当x=300时，有最大值25000；当x ＞400时，f (x)=60000－100x 是减函数，f (x)＜60000－100×400＜25000．∴当x=300时，f (x)的最大值为25000．∴每月生产300台仪器时，利润最大．最大利润为25000元．【总结升华】由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x ；②收益函数为一分段函数．解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本．由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点．举一反三：【变式1】 设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y=ce kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa ，1000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强（结果保留3位有效数字）．【答案】 0.943×105.【解析】这里已有函数模型，要求待定系数c 、k ，由x=0时y=1.01×105 Pa 和x=1000 m 时y=0.90×105 Pa 可求．将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=ce kx 中，得50510001.01100.9010k k ce ce ⋅⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩，∴5510001.01100.9010k c ce⎧=⨯⎪⎨⨯=⎪⎩． 将c=1.01×105代入0.90×105=ce 1000k 中得0.90×105=1.01×105e 1000k ， ∴10.90ln 1000 1.01k =⨯． 由计算器算得k=－1.15×10－4， ∴45 1.15101.0110x y e --⨯=⨯⨯．将x=600代入上述函数关系式得45 1.15106001.0110y e --⨯⨯=⨯⨯，由计算器算得y=0.943×105 Pa ．答：600 m 高空的大气压强约为0.943×105 Pa ．【总结升华】 函数y=c ·a kx （a 、c 、k 为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可．类型二、自建函数模型的应用问题例3. 某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。

【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+800016 500500()n c n cn n=++=++24000c=++，=，即n=4时，y取得最小值且y min=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解．举一反三：【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）【答案】（1）550（2）60 (0100,)()62 (100550,)5051 (550,)x xxP f x x xx x<≤∈⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩NNN（3）6000 11000【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则60511005500.02x-=+=．因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元．（2）当0＜x≤100时，P=60．当100＜x＜550时，600.02(100)6250xP x=--=-．当x≥550时，P=51．∴60 (0100,)()62 (100550,)5051 (550,)x xxP f x x xx x<≤∈⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩NNN（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则220 (0100,)(40)22 (100550,)5011 (550,)x x xxL P x x xx x x<≤∈⎧⎪⎪=-=-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩NNN当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元．【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例2】例4．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?【思路点拨】（1）根据题意列出不等式求解（2）列出不等式求解，因为计算过程中，数字比较大，可以使用计算器。