指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念(2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 (1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且；②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a 〉0,r 、s ∈Q ); ②(a r ）s =a rs （a>0，r 、s ∈Q ）; ③（ab)r =a r b s (a>0，b>0，r ∈Q ）；。
n 为奇数 n 为偶数3．指数函数的图象与性质 y=a x a 〉10〈a 〈1图象定义域 R 值域 (0,+∞）性质（1）过定点（0，1） （2）当x 〉0时，y 〉1； x 〈0时，0〈y<1(2) 当x 〉0时，0〈y 〈1； x<0时， y>1（3）在(-∞，+∞）上是增函数(3）在（—∞，+∞)上是减函数注:如图所示,是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x ，(3),y=c x （4)，y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1〉a 1〉b 1，∴c 〉d 〉1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二)对数与对数函数 1、对数的概念 （1)对数的定义如果(01)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数,记作log Na x =，其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
（2)几种常见对数对数形式 特点记法一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a常用对数 底数为10 lg N自然对数底数为eln N2、对数的性质与运算法则(1)对数的性质（0,1a a >≠且)：①1log 0a =，②log 1aa =，③log Na aN =，④log Na a N =。
（2）对数的重要公式：①换底公式：log log (,1,0)log NNa bba ab N =>均为大于零且不等于； ②1log log ba ab =. （3）对数的运算法则：如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③)(log log R n M n M a na ∈=；④b mnb a na m log log =。
图象1a >01a <<性质（1)定义域：（0，+∞)（2）值域：R（3)当x=1时，y=0即过定点(1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ (5）在（0，+∞）上为增函数(5)在（0,+∞)上为减函数注：确定图中各函数的底数a ，b,c ，d 与1的大小关系提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0〈c<d<1〈a<b 。
4、反函数指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。
（三)幂函数1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量，α为常数注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x 3，y=x 2，y=x,12y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0；当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12y x =， y=x -1； 当0<x 0〈1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x —1，12y x = ,y=x ， y=x 2,y=x 3 。
y=x y=x 2y=x 312y x =y=x -1定义域 R RR ［0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R ［0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性增x ∈[0，+∞)时,增； x ∈(,0]-∞时，减增增x ∈(0，+∞）时，减；x ∈(—∞，0)时,减定点（1，1）三:例题诠释，举一反三知识点1：指数幂的化简与求值 例1。
(2007育才A ）（1)计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2)化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A)化简下列各式（其中各字母均为正数）：（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--(2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a（3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识点2：指数函数的图象及应用例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )31()21(=,下列五个关系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0；⑤a=b 。
其中不可能成立的关系式有 ( ）A.1个 B 。
2个 C 。
3个 D 。
4个 变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质例3。
（2010省实B ）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性;（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=xx a a e e +是R 上的偶函数。
（1）求a 的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数。
知识点4：对数式的化简与求值例4。
（2010云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+ （2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-；（3）21lg4932-34lg 8+lg 245.变式：(2010惠州A)化简求值. （1)log 2487+log 212—21log 242—1；(2）（lg2)2+lg2·lg50+lg25；(3）（log 32+log 92)·（log 43+log 83）. 知识点5：对数函数的性质例5。
（2011深圳A ）对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+；③111;aaaa++< ④111;aaaa++> 其中成立的是（ ）（A ）①与③（B ）①与④(C ）②与③（D ）②与④变式:（2011韶关A ）已知0＜a ＜1，b ＞1,ab ＞1，则log a bb b b a 1log ,log ,1的大小关系是 （ )A 。
log a bb b b a 1log log 1<< B.b b b ba a 1log 1log log << C.bb b ab a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6。
（2010广州B)已知函数f(x ）=log a x （a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞)都有｜f(x ）｜≥1成立，试求a 的取值范围。
变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2—ax-a ）在区间（—∞,1—3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围。
知识点6：幂函数的图象及应用例7.（2009佛山B ）已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；(３）()()f x g x <．变式：(2009揭阳B ）已知幂函数f(x ）=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数,且在区间（0,+∞)上是单调减函数。
（1)求函数f(x ）;（2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性.四：方向预测、胜利在望 1．(A ）函数41lg)(--=x xx f 的定义域为( )A ．(1,4）B ．[1，4）C ．（－∞，1)∪（4，＋∞）D ．（－∞,1］∪（4,＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）（A ） （ln2)2（B) ln （ln2）(C) ln 2（D ） ln23（B)设a 〉1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=（ ） （A ）2 （B ）2 (C)22 (D ）44.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（ )（A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << （D ）c a b <<5.（B)设f (x ）= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为( ) （A ）（1，2）⋃（3，+∞） （B ）（10，+∞）(C ）（1,2)⋃ （10 ，+∞) （D ）(1,2）6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =,23log (log 2)R =,则（ ） Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．cab222>>B ．c b a222>> C ．a b c 222>> D ．ba c 222>>8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ )（A)()sin f x x = （B) ()1f x x =-+(C ） 1()()2x x f x a a -=+ （D ） 2()2xf x lnx-=+ 9.（A)函数y =( ）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10。