b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
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例1 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x2 1 x 2
原式
0 x2dx
即 M 0, x [a, b], f ( x) M , g( x) M .
0, 存在分割 T , 使
T
f i
Δxi
; 又存在分
2M
割 T ，使
T
ig Δxi
2M
.
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则:
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fg i
证 g( x) f ( x) 0, 且 g( x0 ) f ( x0 ) 0, 不妨设
x0 (a, b). 由连续函数的局部保号性质, 0,
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
g(x)
f
(x)
1[ 2
g( x0 )
f
( x0 )
].
由此推得:
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sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
x, x Δ i
sup g( x) f ( x) f ( x)
f ( x) g( x) g( x) x, x Δi
Mif Mig .
于是
fg i
xi
M
f i
xi
M
g i
xi
T
T
T
由§3习题第1题, 知道:
M
f i
在 [a, b] 上也可积，且
b
k f (x)d x k
b
f (x)d x.
a
a
证 记 J
b
f (x)d x.
由 f 在 [a, b] 上可积, 故
a
0, 0, 当 T 时, 对一切 i [xi1, xi ],
n
f (i )Δ xi J
i 1
. k 1
从而
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n
T n
因此
f (i )xi J J 0,
i 1
这与 f (i ) 0, Δxi 0 矛盾. （也可利用定义直接证明）
推论 若 f , g 在 [a, b] 上可积, 且 f ( x) g( x), x
[a, b], 则
b
b
f ( x)dx g( x)dx.
a
a
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证 设 F ( x) g( x) f ( x) 0, x [a, b], 则
f i
.
故 i f Δxi if Δxi , 即 f 在 [a,b] 上可积.
T
且由于 f ( x) f ( x) f ( x) , 得到
b
b
b
a f ( x) dx a f ( x)dx a f ( x) dx,
b
b
因此证得 a f ( x)dx a f ( x) d x.
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b
a [ g( x) f ( x) ] d x
[ x0 g( x) f ( x) ]dx [ x0 g( x) f ( x) ]d x
a
x0
b
[ g( x) f ( x) ]d x x0
[ x0 g( x) f ( x) ]d x g( x0 ) f ( x0 ) 2
由 f ( x) g( x)或 f ( x)g( x)在[a,b]上可积，不能
断言 f ( x), g( x)在[a,b]上都可积.
例
f
(
x
)
1, 0，
x为有理数 x为无理数
g( x)
0, 1，
x为有理数 x为无理数
显然 f ( x) g( x)和 f ( x)g( x)在[0,1]上可积，但
f ( x), g( x)在[0,1]上都不可积.
i 1
n
n
f (i )Δxi J1 g(i )Δxi J2
i 1
i 1
.
22
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
b
b
b
a ( f ( x) g( x))dx a f ( x)dx a g( x)dx.
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性质3 若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上 也可积. 证 因 f , g 在 [a, b] 上可积，故在 [a,b] 上都有界,
使 iΔxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
T
由§3习题第1题, 知道
Δx
i
i
iΔxi .
T
T
分割 T 在 [a, c] 和 [c, b] 上的部分, 分别构成对
[a, c] 和 [c, b] 的分割,记为 T 和 T, 则
iΔxi iΔxi , iΔxi iΔxi .
a
a
上连续，则可得到严格不等式
b
b
a f ( x)) 和 g( x) 在 [a, b] 上连续, f ( x) g( x),
x [a, b] , 且存在 x0 [a, b], 使 f ( x0 ) g( x0 ), 则
b
b
a f ( x) d x a g( x) d x.
b
b
b
0 a F ( x)dx a g( x)dx a f ( x)dx,
b
b
即
a f ( x)dx a g( x)dx.
注1 由 f ( x) g( x), 但 f ( x) g( x), 一般不能推得
b
b
f ( x)dx g( x)dx. 但若 f ( x) 和 g( x)在 [a, b]
a
a
a
证 记 J1
b
a f (x)dx, J2
b g( x)dx. 于是 0,
a
0, 当 T 时，i [xi1, xi ], i 1, 2, , n,
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n
f (i )Δ xi J1
i 1
,
2
n
g(i )Δ xi J2
i 1
.
2
n
从而
[ f (i ) g(i ) ]Δ xi (J1 J2 )
证 因为 f 在 [a, b] 上可积, 0, T , 使得
f i
xi
.由
f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x) ,
T
i f sup{ f ( x) f ( x) x, x [ xi1, xi ] }
sup{ f ( x) f ( x)
x,
x [ xi1,
xi
]
}
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
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性质6 若 f 在 [a, b] 上可积,则 | f |在 [a, b] 上也 可积,且
b
b
a f ( x) d x a f ( x) d x.
注 这个性质的逆命题不成立：
1,x为有理数 f ( x) 1,x为无理数
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xi
M
ig xi
M T
M
T
.
2M 2M
因此 f g 在 [ a, b] 上可积.
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思考题
定积分性质中指出，若 f ( x), g( x)在[a,b]上都可 积，则 f ( x) g( x)或 f ( x)g( x)在[a,b]上也可积. 这
一性质之逆成立吗？为什么？
思考题解答
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例 5
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解
1 f ( x) 3 sin3 x , x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin 3
x
1, 3
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
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x0
2
[ g( x0 ) f ( x0 ) ] 0 ,
即
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
易证：设f ( x)在 [a,
b] 上连续,
f (x)
0,且 b a
f (x)dx=0
则f ( x) 0
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注2 例1中条件 f 与 g 的连续性,可减弱为: f 和 g 在 [a, b] 上可积, f ( x) g( x), x [a, b] ,且
存在 f 和 g 的连续点 x0 [a, b], 使 f ( x0 ) g( x0 ),
则
b
b
f (x) dx g(x) dx.
a
a
注3 若 f ( x) g( x), x [a, b], 由 f , g在 [a, b] 上可
积,可得
b
b
f (x)dx g(x)dx.
a
a
此结论需要利用区间套定理证明：
T
T
因此，f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积.
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若 f 在 [a, b] 上可积,
由必要性证明,可选择分割 T 使点 c 为其中一个分点,
则 T 在 [a, c]的部分 T 构成对 [a, c]的分割,