第二节 数列的极限
概念的引入 数列的概念 数列极限的概念 收敛数列的性质 小结 思考题 作业
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第一章 函数1与极限
数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
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例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
欲使
因此 , 取
则当
即
只要
时, 就有
故
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例2. 设
的极限为 0 .
证:
证明等比数列
欲使 亦即
只要
即
(q 0)
因此 , 取
可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f (n) 整标函数或下标函数
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数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
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数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定? 研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势.
n 1 1, 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,
2345 即 2, 1 , 4 , 3 , 6
2 345
不可能同时位于长度为1的区间内.
{ xn }是有界的, 但却发散.
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数列的极限
3. 保号性
定理3
如果
lim
n
xn
a,
且
a
0(a
0),
则N
0,
当n N ,有xn 0 ( xn 0).
证
a 有
0 由定义,
xn a
对
a, 2
a 2
0,
N
0,当 n
N
时,
从而
xn
a
a 2
a 2
0.
推论 如果数列xn从某项起有 xn 0 ( xn 0),
记为 或
lim
n
xn
a,
xn a (n ).
如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge).
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数列的极限
注
(1) 不等式 xn a 刻划了xn 与a的无限接近; (2) 正数是任意给定的 , 但是一旦给出之后,
它就是确定了;
(3) N与给定的有关,一般地说, 越小, N将越大;
(4) {xn}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用, 主要看“后面”的无穷多项.
term), 或者一般项.
如 2,4,8, ,2n , ;
{2n }
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
1 {2n }
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数列的极限
1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
数列的(两种)几何表示法:
n (1)n1
{
}
n
(1)数列对应着数轴上一个点列.
当n无限增大时, xn 无限接近于1.
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例如
0
0 1 2
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共同性质
（要多近有多近）
⑤、⑥ 无此性质
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数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1
|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
, 则当 n > N 时, 就有
故
证明 ©
数列的极限
例
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明 常数列的极限等于同一常数.
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数列的极限
例 证 极用 定明 限定数.义0列,证寻x数找n 列N,n极1但c限o不s存n必2在要(时求n ,最关1、小键2、的是3N任）.意以给0为
有
xn
1
1, 10000
给定
0, 只要 n
N ( [1])时,有
xn
1
成立.
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数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于n N 时的一切 xn ,
不等式
xn a
成立. 那末就称常数a是数列 xn的极限(limit), 或称数列 xn收敛于a (converge to a) .
N nK
从而有
xnk a
, 由此证明
lim
k
x nk
a.
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数列的极限
由此定理可知, 仅从某一个子数列的收敛 一般不能断定原数列的收敛性;
但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列 收敛于不同的极限值, 可断定原数列是发散的.
还可以证明: 数列{ xn } 的奇子数列 { x2k1} 和偶子数列
{ x2k }均收敛于同一常数a 时, 则数列 { xn } 也收
敛于a . (证明留给做作业)
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数列的极限
例 试证数列 cos n 不收敛. 证 因为cos n 的奇子数列 1, 1, 1,
收敛于 1, 而偶子数列 1, 1, 1, 收敛于 1,
所以数列 cos n 不收敛.
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应
用 2. 收敛数列的性质:
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数列的极限
2. 唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设
lim
n
xn

a,
又 lim n
xn
b,
由定义,
0,N1, N2. 使得当n N1时恒有 xn a ;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2,
则当n N时有 | a b | (xn b) (xn a)
xn b xn a 2 .
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大, 则要看 xn 1小到什么要求.
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数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时, 有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
且
lim
n
xn
a,
那么
a
0
(a
0).
用反证法
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数列的极限
4. 收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项: xn1 , xn2 , xnk ,
(其下标n1 n2 nk ) 所构成的新数列
{ xnk }叫做数列{ xn }的子数列.
这里 xnk是原数列中的第 nk项,在子数列中是
定义 对数列xn ,若存在正数M, 使得一切自然
数n,恒有| xn | M成立,则称数列 xn有界; 否则,
称为无界.
如,
数列 xn
n n1
有界; 数列 xn 2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在
闭区间[M, M]上.
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数列的极限
定理1 收敛的数列必定有界.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义,
仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
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数列的极限
例 证明 数列xn (1)n1是发散的 . 反证法
证 假设数列{ xn }收敛，则有唯一极限a 存在.
取
1 , 则N 2
0,
当n
N时, 有
xn
a
1 成立, 2
即当n
N时,
xn
(a
1,a 2
1), 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
采用逻辑符号将 lim n
xn
a的定义可缩写为:
N 定义 0, N 0, 当n N时,
有 xn a .
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数列的极限
数列极限的几何意义
a 2
xn a
a xn a
(n N )
即 xn U(a , )
a
(n N )
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点xn 都落在(a , a )内,
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引例.
设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
n
如图所示 , 可知
r
当 n 无限增大时,
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无限逼近 S（刘徽割圆术）。
数列的极限
二、数列 (sequence of number) 的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x2 , xn , 简记为{ xn },其中xn称为数列{ xn }的通项(general