n
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2. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn 1 , 即
单调增, 又
(1
) 1
1 (1 a1 )(1 ak )
存在
“拆项相消” 法
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k
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例如
证明：数列
是发散的.
思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
找两个收敛于不同极限的子数列.
作业 P30 3 (2) , (3) , 4 , 6
P56 4 (1) , (3) 4 (3) 提示:
可用数学归纳法证
第三节 目录
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备用题
1 a 1.设 xn 1 ( xn ) ( n 1 , 2 , ) , 且 x1 0 , 2 xn a 0 , 求 lim xn . 利用极限存在准则
数列极限的运算（证略）
求下列极限
二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限是唯一的 (证略）
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2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
n
1 a a 解： xn 1 (xn ) xn a 2 xn xn 1 a xn 1 1 a (1 2 ) ( 1 ) 1 2 a xn 2 xn
∴数列单调递减有下界， 设 故极限存在， lim xn A n 1 a A a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn a
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知

n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
●
刘徽
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n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
●
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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数列的定义
按照自然数大小的次序排列起来的一组无 穷多个实数称为数列 数列中的每一个数称为项，
数列也可以看作是定义在自然数集上的函数
●
例如
●
共同性质
（要多近有多近）
⑤、⑥ 无此性质
●
数列极限的定义
●
注
●
逻辑形式
若数列不收敛，则称该数列发散
●
例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
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子数列
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k
例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为 0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln .ห้องสมุดไป่ตู้亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q
q
n 1
0
故
n
lim q
n 1
0
证明
●
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则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0) ,
( 0) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0) . (用反证法证明)