1 = 2π
∫
+∞
−∞
e jωτ
ω2 + 2 dω 2 2 (ω + 4)(ω + 1)
1 ω2 + 2 ω2 + 2 jω τ jω τ = + 2π j[Res( 2 e , j ) Res( e , 2 j )] 2 2 2 2π (ω + 4)(ω + 1) (ω + 4)(ω + 1)
1 −τ 1 −2 τ = j( e + e ) 6j 6j
1 S X (ω ) = lim E T →+∞ 2T
+∞
∫
T
−T
e − jωt X t dt
2
= ∫ e − jωt RX (τ )dt
1 证明 因为 E 2T
−∞
∫
T
−T
e
− jωt
2
X t dt
T T 1 − jω s = E[ ∫ e X s ds ∫ e − jωt X t dt ] −T −T 2T
∫ f ( z )dz = 2π j ∑ Res[ f ( z ), z ]
C k =1 k
n
例5.4.3. 设平稳过程X的功率谱密度为
ω2 S X (ω ) = 4 ω + 3ω 2 +2
计算X的平均功率.
解 利用维纳-辛钦公式得： 1 +∞ jω 0 RX (0) = e S X (ω )d ω ∫ −∞ 2π 1 +∞ ω2 = dω 4 2 ∫ −∞ 2π ω + 3ω +2
2
即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 上式也称为总能量的谱表达式.
2. 功率型信号：若信号的总能量是无限的. x(t)不满足绝对可
积的条件， 通常研究x(t)的平均功率，即
1 T 2 lim x (t )dt ∫ T →∞ 2T −T 为信号x(t )在(-∞,+∞)上的平均功率.
能否给出平均功率的的谱表达式？ 为此构造一个截尾函数:
1 RX (0) = 2π
平均功率
∫
+∞
−∞
S（ dω X ω）
T 1 1 2 即 lim E ∫ X t dt = lim −T T →+∞ 2T T →+∞ 2T
∫
T
−T
E X t dt = RX (0)
2
说明平均功率可以用谱密度曲线下的总面积来计算.
谱密度的计算
W--K 公式
留数 定理
Fourier 性质
− jωτ S（ ω ） = e RX (τ )dτ , − ∞ < ω < +∞ X ∫ −∞ +∞
1 RX (τ ) = 2π
∫
+∞
−∞
e jωτ S（ dω , − ∞ < τ < +∞ X ω）
上式表明相关函数和谱密度是一对傅里叶变换对. 上两式也称为维纳-辛钦公式.
相关函数在时域上描述平稳过程的统计特征. 在频域上描述平稳过程统计特征的工具——功率谱密度. 时域分析与频域分析是研究平稳过程的两个重要分支. 而Fouier变换可以实现时域与频域的转换.
x(t ) t ≤ T 令 xT (t ) = t >T 0
则xT (t )绝对可积,存在Fourier变换及逆变换
Fx (ω , T ) = ∫ e − jωt xT (t )dt
−∞ +∞ T
= ∫ e − jωt x(t )dt
−T
对截尾函数用Parseval等式，得
∫
+∞
谱密度的性质
平稳过程的谱密度有以下性质： （1）谱密度是非负实函数. 2 T 1 由S X (ω ) = lim E ∫ e − jωt X t dt 易知结论成立. −T T →+∞ 2T （2）实平稳过程的谱密度是非负实偶函数. 事实上，对实平稳过程,
− jωτ ） ⇒ S（ ω = e RX (τ )dτ X ∫ −∞ +∞
T T 1 = E[ ∫ ∫ X s X t e − jω (t − s ) dsdt ] −T −T 2T
1 = 2T
2T
∫ ∫
−T
T
T
−T
e − jω ( t − s ) RX (t − s )dsdt
s = 1 u = t − s 2 (v − u ) 令 ,则 1 v = t + s t = 2 (v + u )
5.4 平稳过程的功率谱密度
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
平稳过程的谱密度
●
相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.
•许多物理和工程领域中问题, 还要研究其在频域 内的特征, 即频域分析法. •谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. •Fouier变换可以实现时域与频域的转换. • 时域分析法与频域分析法相互联系, 且各有优 点, 构成了研究平稳过程的两个重要分支.
ω ∈ (−∞, +∞)
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程，
2 且满足 E[X t -X s ] = t − s , 令
Yt = X t -X t −1 ,
证明 m Y (t ) = E[Xt -X t −1 ]=0,
t ∈ (−∞, +∞)
验证 Y={Yt, -∞<t<+∞ }为平稳过程，并计算Y的谱密度.
一、确定性时间函数的功率谱密度 ——预备知识
3
功率谱密度的概念
能量型 信号 功率型 1. 能量型信号— 总能量有限的信号 设信号的样本函数为x(t) (-∞<t<+∞) 则称
+∞
W =∫
−∞
x 2 (t )dt
为信号x(t )在(-∞,+∞)上的总能量.
如果x(t)在 (-∞,+∞)上绝对可积，则x(t)的Fouier变换存在 ， 或说x(t) 存在频谱，即
Fx (ω ) = ∫
逆变换 x (t ) = ∫
+∞
+∞
+∞
−∞
x(t )e − jωt dt
−∞
1 Fx (ω )e jωt d ω 2π
+∞
频谱展开式
则总能量W = ∫
−∞
x (t )dt = ∫
2
−∞
x(t )[ ∫
+∞ −∞
+∞
−∞
1 = 2π 1 = 2π
1 Fx (ω )e jωt d ω ]dt 2π
F [ f ( n ) (t )] = ( jω ) n F [ f (t )]
在工程实际中，常用到δ -函数的傅里叶变换和逆变换
+∞ 1 − jωτ dτ = δ (ω ) e ∫ −∞ 2π +∞ 1 1 jωτ ωτ δ (ω )d ω = e ∫ 2π 2π −∞
+∞ −∞
∫
[ Fx (ω ) ∫
2
x (t )e jωt dt ]d ω
∫
+∞
−∞
Fx (ω ) d ω
Parseval等式 W = ∫
+∞
−∞
1 2 x (t )dt = 2π
∫
+∞
−∞
Fx (ω ) d ω
2
左边为x(t )在(-∞,+∞)上的总能量
右边的被积式 Fx (ω ) 称为信号x (t )的能谱密度.
−∞
x (t )dt = ∫ x 2 (t )dt
2 T −T
T
1 = 2π
∫
+∞
−∞
Fx (ω ,T ) d ω
2
则平均功率 1 lim T → +∞ 2T
1 ∫−T x (t )dt = Tlim → +∞ 4π T
T 2
∫
+∞
−∞
Fx (ω , T ) d ω
2
2
1 = 2π
1 = 2π
记 1 S（ = lim x ω） T →+∞ 2T
2 ω2 + 2 ω +2 1 −τ jωτ jωτ 其中，Res( 2 e , j) = lim(ω − j) 2 e = e 2 2 ω → j (ω + 4)(ω +1) (ω + 4)(ω +1) 6j
1 −τ −2 τ = (e + e ) 6
ω2 + 2 ω2 + 2 1 −2 τ jω τ jω τ Res( 2 e , 2 j ) = lim (ω − 2 j ) 2 e = e 2 2 ω → 2 j (ω + 4)(ω + 1) 6j (ω + 4)(ω + 1)
−3 τ
cos 4τ )
−3 τ
S X (ω ) = F [ RX (τ )]
= 5F[1] + 2F [e
−3 τ
] + 2F [e
cos 4τ ]
12 3 3 +2[ + ] = 10πδ (ω ) + 2 2 2 9+ω 9 + (ω − 4) 9 + (ω + 4)
⇒J=
∂ ( s ,t ) ∂ (u ,v )
=
−1 2
1 2
1 2 1 2
=−1 2
u − jwu = ∫ (1 − )e RX (u )du −2 T 2T
=∫
+∞ −∞