同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。

移动荷载是否可能产生动力效应？10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。

为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。

(a) (b)y ，ϕ。

(c)(d)10-6 10-710-8 m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。

解：1）刚度法可设A 截面转角a 为..ml a 。

取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3)121233I M ml a l l mal =⨯⨯⨯=由动力荷载引起的力矩为：()()2121233t t q l l q l ⋅⋅= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.2133la k l c al ⋅⋅+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：整理得：()...33t q ka c a m a l l l++= 2）力法解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。

根据几何关系，虚功方程为：() (2)01110333l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-⋅-⋅-⋅=⎰则同样有：()...33t q ka c a m a l l l++=。

t )10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。

解：取DF 隔离体，F M ∑取AE 隔离体：0AM=∑将R 代入，整理得：10-10 试建立图示各体系的运动方程。

(a)解：（处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。

图中惯性力为三角形分布，方（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）（3）列出刚度法方程113EIk l=，()..3124pt m R l M α=- 代入1p R 、11k 的值，整理得： (b) 解：2M 图试用柔度法解题此体系自由度为1 。

设质量集中处的竖向位移y 为坐标。

y 是由动力荷载()p t F 和惯性力矩I M 共同引起的。

由图乘法： 惯性力矩为..m y l -经整理得，体系运动方程为：()..33516p t EI m y y F l +=。

10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。

(a)1M 图图乘得：31111225222223236a a a f a a a a EI EI⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭(b)23。

ll2 m (t ) l2l 22aa a由此根据弯矩平衡可求得49P k =。

ω== (c)于是两者并联的柔度系数为331696102l EI EI EIl δ==+并(d)解：图 M 图10-12 10-13 比如何？10-14 什么是阻尼系数、临界阻尼系数、阻尼比和振幅的对数递减率？为什么阻尼对体系在冲击荷载作用下的动力响应影响很小？10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm 减小至0.060mm ，试求该结构的阻尼比ξ。

解：0475.006.0188.1ln 201ln 21==≈+ππξn k k y y n 10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用，且有ωθ75.0=。

若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？解：2222222411ωθξωθω+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=m F A 已知ξ从0.2降低至0.02.ωθ75.0=，t F F θsin 1=，A 不变。

l 2 l2F 简谐荷载的幅值应调整到0.827F 。

10-17 试说明动力系数的含义及其影响因素。

单自由度体系质量动位移的动力系数与杆件内力的动力系数是否相同？10-18 什么是共振现象，如何防止结构发生共振？10-19 试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位移幅值，并绘制最大动力弯矩图。

设36ml EI =θ。

(a)33l EI位移。

ω()32221sin sin 31t F Fl y t t EI m θθθωω=⋅=--即幅值为33Fl EI当幅值最大时，弯矩也最大。

max M 图(b)2M 图 （1）求结构运动方程 如所示弯矩图，图乘后，333112212215,,24348l l l f f f f EI EI EI====其中2*3245,2EI P F ml ω==稳态解：所示结构的运动方程为()35=sin 36t C Fl y t EI θC 点最大动位移幅值为3536Fl EI（2）求B 点的动位移反应B 点的动位移幅值为3121288Pl EI（3）绘制最大动力弯矩图1M 图 2M 图 最大动力弯矩图10-20 试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。

设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k 。

解：若()t q 已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。

设为B 点处顺时针方向转角α为坐标。

建立动力方程：2l2ll 2l 2l tθ sin t θ sin则弹簧支座的最大动反力为l 891122⋅-ωθ。

10-21 设图a 所示排架在横梁处受图b 所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。

已知EI =6×106N ·m 2，t 1＝0.1s ，F P0＝8×104N 。

(a)解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。

可将排架柱视为三个并联的弹簧。

边柱刚度柔数k3.9773.91.01==T t 数值很小 所以认为当()t P F 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：再根据势能守恒得：(b)10-22 设图a 所示排架横梁为无限刚性，并有图b 所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。

(a)解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。

第一阶段（10t t ≤≤）： 求T 的过程。

1M 图 第二阶段（1t t >）因为不受外力作用，所以横梁以1t 时刻的位移和速度为初始值做自由振动。

(b)10-23 设题10-22图a 所示刚架m ＝4000kg ，h ＝4m ，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝0.10。

若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI 至少为何值。

解：（1）求周期数。

（2）求k ：km n t n π2=两柱并联10-24 设某单自由度体系在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率θ分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？解：在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下，稳态位移响应可表示为()()αθ-=t A y t sin6mEIEI 1=∞mhEIF P (t ) F P (t )t t 1 F P0 O F P (t )tF P0t 1O其中：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-221222222212tan 411ωθωθξαμωθξωθωst y m F A（1）使动位移最大，即使μ最大，从而得出22222241ωθξωθ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-最小。

设()22222241ωθξωθθ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=f 使()0='θf ，则221ξωθ-= （2）())cos(αθθ-='t A y t 设()222222222141141ωξωθθωθξωθθθ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=g如果使速度响应最大，则()θg 最大，设()2221141ωξωθθθ+⎪⎭⎫⎝⎛-=g ，显然要求()θ1g 最小。

使：()01112221=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-='ωθωθθθg 得ωθ=。

（3）())sin(2αθθ--=''t A y t令()2222221411θωξωθθ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h 显然要求()θ1h 最小。

则()02112221=--='ωξθθh 解的：221ξωθ-=10-25 结构自振频率的个数取决于何种因素？求解结构自振频率的问题在数学上属于何类问题？ 10-26 试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。

(a) 解：2M 图（1）EIl f l l l l l l EIf 423222221232221231111=⇒⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=（2）振型方程 令2312ωλml EI=，频率方程为： （3）振型图如下第一振型 第二振型(b)解：令ω21解得：3mlEI，332060.16675.23ml EIml EI =⋅=ω1773.2707.0414.211121-=--=λA A，1358.0707.0414.221222=--=λA A(c) 解：2M 图 （1）EI l f 3311=，EI l f 1213322=，EI l f f 12532112==（2）振型方程 令2312ωλml EI=，频率方程为： （3）当227.151==λλ时，设7227.0108112111=-=⇒=λA A当773.12==λλ时，设6227.0108122212-=-=⇒=λA A绘出振型图如下：第一振型 第二振型(d) 解： 2M 图频率方程为：aa alll l取3121,3m ma m ma ==代入整理得： 22444003a a λλ-+=其中3248EI a m λω= 振型方程为：将()1,11,2i i A i ωω===代入（a ）式中的第一个方程中，得： 绘出振型图如下：第一振型 第二振型(e)解：2M 图（1）（2令λ振型图如下：第一振型 第二振型第三振型(f) 解： 1M 图 2M 图 3M 图（1）（2）振型方程为：令326EIml λω=，频率方程为： 10-27 试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。

(a) 解： 2M 图第二振型(b) 解：2F 图 令λ (c)aa a4mEI=常数aaEI解：1M 图 2M 图作出附加连杆移动单位位移的弯矩图 列出频率方程： 解得：结构自振频率分别为：求第一振型：令111A =得211A = 求第二振型：令121A =得221A =- 结构的振型向量形式为： 振型图如下：第一振型 第二振型 (d) 解：2M 图12k 列振型方程：()()12*160y A ⎨-=⎪⎩其中322ml y EI ω=列频率方程并求解： 求振型将11115,1y A ==代入方程组（*）中得：210A =，即()110A⎛⎫= ⎪⎝⎭ 将22216,1y A ==代入方程组（*）中得：220A =，即()201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭振型图如下：第一振型 第二振型10-28 试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性质、特点和作用位置分别有何要求？10-29 试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。