2008届高三文科数学第二轮复习资料——《函数及导数》专题1．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈均有()(3)0f x f x ++=，且当11x -<≤时，()23f x x =-，求当24x <≤时，()f x 的解析式．2. 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.3．集合A 是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x ≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数.（1）判断函数f 1(x)=2-x 及f 2(x)=1+3·(x )21(x ≥0)是否在集合A 中？若不在集合A 中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A 中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k 对于任意的x ≥0总成立.求实数k 的取值范围.4. 对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在(2)的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．5. 已知函数f(x)=2x3+ax及g(x)=bx2+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线.（1）求实数a、b、c的值；（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.6．设x=1及x=2是函数f(x) = a lnx + bx2 + x的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数a和b的值；（Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.7. 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：e)1其中.当燃料重量为m(-吨（e为自然对[ln())]4ln2(0)y k m x k=+-+≠数的底数，72.2≈e）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.（Ⅰ）求火箭的最大速度)(xy=；y及燃料重量x吨之间的函数关系式)fkm/(s（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？8．某工厂统计资料显示，产品次品率ϕ及日产量x（件）（89x且）的关N∈x1≤≤系符合如下规律：又知每生产一件正品盈利α元，每生产一件次品损失2α元).0(>a（Ⅰ）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取7.13≈计算）．9. 某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件及年促销费用m 万元（m ≥0）满足13+-=m kx （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f （x ）、g （x ），当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f （x ）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g （x ）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险． （Ⅰ）试解释20)0(,10)0(==g f 的实际意义；（Ⅱ）设20)(,1041)(+=+=x x g x x f ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？参考答案1.解：由()(3)0f x f x ++=有(3)()f x f x +=-，当11x -<≤时，(3)()23f x f x x +=-=-+.设3x t +=，则由11x -<≤得24t <≤，又3x t =-， 于是()2(3)329f t t t =--+=-+， 故当24x <≤时，()29f x x =-+．2.解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221x x xf x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．又因()f x 是奇函数，从而有不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-３.解:（1）∵f )49(1=2-49=-5∉(1,4]，∴f )(1x 不在集合A 中．又∵x ≥0, ∴0＜(x )21≤1， ∴0＜3·(x )21≤3，从而1＜1+3·(x )21≤4．∴f 2(x)∈(1,4]．又f 2(x)=1+3·(x )21在[0，+∞)上为减函数，∴f 2(x)=1+3·(x )21在集合A 中.（2）当x ≥0时，f(x)+f(x+2)=2+415·(x )21≤423． 又由已知f(x)+f(x+2) ≤k 对于任意的x ≥0总成立, ∴k ≥423． 因此所求实数k 的取值范围是[423,+∞)．４.解： 2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当2,2a b ==-时，2()24f x x x =--．设x 为其不动点，即224x x x --=，则22240x x --=． 所以121,2x x =-=，即()f x 的不动点是1,2-. （2）由()f x x =得220ax bx b ++-=.由已知，此方程有相异二实根，所以24(2)0a b a b ∆=-->， 即2480b ab a -+>对任意b R ∈恒成立．20,16320b a a ∴∆<∴-<，02a ∴<<．（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，1k ∴=-．记AB 的中点00(,)M x x ，由(2)知02bx a =-． 212()20,bf x x ax bx b x x a=⇔++-=∴+=-M 在2121y kx a =++上，212221b b a a a ∴-=++化简得：2112142a ba a aaa=-=-≥=++，当2a =时，等号成立．即44b b ⎡⎫≥-∴∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭5.解：（1）∵f(x),g(x)的图像过P （2，0）∴f(2)=0即2×23+a ×2=0，所以a=－8．g(2)=0 即：4×b+c=0又∵f(x)，g(x)在P 处有相同的切线，∴4b=16，b=4，c=－16， ∴a=－18，b=4，c=－16．（2）由F(x)=2x 3+4x 2－8x －16，有F ′(x)=6x 2+8x －8解不等式F ′(x)=6x 2+8x －8≥0得x ≤－2或x ≥32即单调增区间为),32[],2,(+∞--∞．同理，由F ′(x)≤0得－2≤x ≤32，即单调减区间为[－2，32]．6.解：（Ⅰ）f ′(x)=xa +2bx+1，由极值点的必要条件可知：f ′(1)=f ′(2)=0,即a+2b+1=0, 且2a +4b+1=0,解方程组可得a=－32,b=－61,∴f(x)=－32lnx －61x 2+x ．（Ⅱ）f ′(x)=－32x -1－31x+1,当x ∈(0,1)时，f ′(x)＜0, 当x ∈(1,2)时，f ′(x)＞0,当x ∈(2,+∞)时，f ′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值65, 在x=2处函数取得极大值34－32ln2.7.解：（Ⅰ）依题意把4,)1(=-=y m e x 代入函数关系式.8,2ln 4)]2ln()[ln(=+-+=k m x m k y 解得所以所求的函数关系式为,2ln 4)]2ln()[ln(8+-+=m x m y 整理得.)ln(8mx m y += （Ⅱ）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，8,544=-=y x m ，代入函数关系式).(344,1544544ln ,)ln(8t x xm x m y ==-+=解得得 即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.8.解:（Ⅰ）由ϕ及x 的对应规律得次品率为),891(1002N x x x∈≤≤-=ϕ故日产量x 件中，次品数为x ϕ件，正品数为)(x x ϕ-件．则日盈利额),891)(1003(N x x xxx a T ∈≤≤--= ．（Ⅱ）)891)](100300100(103[)1003(≤≤∈-+--=--=x N x xx a x x x a T 且（注：此步可由换元法令t x =-100得到）320100300100≥-+-xx当且仅当x x -=-100300100时取等号．由,83310100,100300100≈-=-=-x xx 得83=∴x 当时，x x -+-100300100取得最小值，又0>α，取得最大值时当T x ,83=∴，因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．9.解（1）由题意可知当0=m 时，1=x （万件）,231=-=∴k k 即 123+-=∴m x每件产品的销售价格为xx1685.1+⨯（元） )168(]1685.1[2006m x xxx y ++-+⨯=∴年的利润 m n m x -+-+=-+=)123(8484… )0(29)]1(116[≥++++-=m m m （2）,8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时31116,21298=⇒+=+=+-≤∴m m m y 当且仅当（万元）时，21max =y （万元）所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元.10.解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为o x 个，则.55002.05160100=-+=o x 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.（2）当;60,1000=≤<P x 时当,550100时<<x ;5062)100(02.060xx P -=--= 当.51,550=≥P x 时所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<==),550(,51)(),550100(,5062),1000(,60)(x N x x xx x f P（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=-=),550(,11)(),550100(,5022),1000(,20)40(2x x N x x x x x x x P L由于当2000,1000≤≤<L x 时；.6050,550≥≥L x 时当所以，,550100<<x 此时.50222x x L -=由⎪⎩⎪⎨⎧<<=-.500100600050222x x x 解得500=x ． 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润6000元.11.解：（I ）f （0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧+=≥+=≥)2(..........20)()1.......(1041)(y y g x x x f y 成立，双方均无失败的风险． 由（1）（2）得060410)20(41≥--⇒++≥y y y y 0)154)(4(≥+-∴y y2420420,1640154=+≥+≥≥⇒≥∴>+y x y y y1624min min ==y x答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．12. 解：（I ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；出厂价为13×（1+0.7x ）； 年销售量为5000×（1+0.4x ）.因此本年度的利润为)4.01(5000)9.03()4.01(5000)]1(10)7.01(13[x x x x x y +⨯⨯-=+⨯⨯+⨯-+⨯=)10(15000150018002<<++-=x x x（Ⅱ）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f 由,395,0)('===x x x f 或解得当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数； 当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元，因为f （x ）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值． 即当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．北京市第十九中学2010届高三数学函数及导数测试（二）班级 姓名 学号一、选择题（每题5分，共50分）1．下列两个集合间的对应构成函数的是 （ ）（1）A=R ，{}|0,:||B x x f x y x =>→=；（2）A=B=N ，:|3|f x y x →=-； （3）{}|0A x x =>，B=R ，:f x y →= （4）{}|06,A x x =≤≤{}|03B x x =≤≤:2x f x y →=A （1）（4）B （2） （3）C （2）（4）D （4） 2．设a＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ C ）3.下列每组函数是同一函数的是 （ ）A 2()1,()1)f x x g x x =-=-B 2()1,()(1)f x x g x x =-=-C24(),()22x f x g x x x -==+- D2()||,()f x x g x x =4．已知()f x =21,01,0x x x x +≥-+<，则[(1)]f f -的值为 （ ）A 5B 2C -1D -2 5．设95(3)2x f x +=(1)f 的值是（ ）72 6．函数22log 2xy x-=+的图像 （ ）（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称7．函数2()32f x x x =++在区间[-5，5]上的最小值、最大值分别是 （ ）A 42，12B 42，14- C 12，14- D 最小值是14-，无最大值8．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（ ） A.0 B.12C.1D.529．对于定义域是R 的任何奇函数()f x ，都有 （ ）A ()()0f x f x -->B ()()0f x f x --≤C ()()0f x f x •-≤D ()()0f x f x •-> 10．定义在R 上的偶函数()f x ，在(0,)+∞上是增函数，则 （ ）A (3)(4)()f f f π<-<-B ()(4)(3)f f f π-<-<C (3)()(4)f f f π<-<-D (4)()(3)f f f π-<-<二、填空题（每题5分，共20分） 11．函数21x y x =+的值域为 12．已知函数y =21,02,0x x x x +≤->，若()10f x =，则x=13．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 14．已知矩形的周长为30cm ，一边长xcm ，面积S （cm 2）。