即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
(a2 b2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
(1 1 1)2 9
又 a、b、c各不相等，故等号不能成立，
∴原不等式成立。
练习1
若a>b>c，求证：a
1
b
b
1
c
a
4
c
证明：(a c)( 1 1 ) ab bc
[(a b) (b c)]( 1 1 ) ab bc
(1 1)2 4
又 abc
∴
11 4 ab bc ac
1.2 一般形式的 柯西不等式
复习
定理1、（二维形式的）柯西不等式: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当 ad=bc 时，“ = ” 号成立
定理2 设 a1, a2, a3,..., an ,b1,b2,b3,..., bn是实数，
则：(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
即：(b2 c2 d 2 a2 )2 (ab bc cd da)2
又 a,b, c, d R , 且不全相等
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
例3 已知x+2y+3z=1,求 x2 y2 z2
的最小值。
解： (x2 y2 z2 )(1 22 32 ) (x 2 y 3z)2