传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包 物质波包会扩散， 电子衍射，
波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双
缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒 子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也 是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再 是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。 在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微 观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而 微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波 的叠加性（相干性）。
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定。
描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
2 波函数的基本性质
设波函数 (x,y,z,t)描写粒子的状态，波的强度 2
(1) 线性方程，迭加原理的要求； (2) 方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可 能的状态都要满足方程。
建立过程：自由粒子波函数所的波函数所满足的微分方程
平面波：(r,t)Aei(prE)t 对坐标求二次偏导：
对时间求偏导： t i E
2 x2
px2 2
2 y2
，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无 穷小区域内找到粒子的几率表示为 dW (x,y,z,t)
dW 应正比于体积 d dxdydz和强度 2
d(W x,y,z,t)C (x,y,z,t)2d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
d(W x,y,z,t)C (x,y,z,t)2d1
py2 2
2 z2
pz2 2
将以上三式相加 ： 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 p 2 2
利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒 子波函数所满足的微分方程：
p2 E
2
i2 2 (2.3-5)
t
2
3、粒子在势场中所满足的方程
粒子在势场U(r)
中，能量和动量的关系是：E
三、量子力学的态迭加原理一般表述
如果 1, 2, n,是体系的可能状态，那么它们
的线性迭加： c 1 1 c 2 2 c n n c n n
n
（c1 ，c2 ，cn 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
§2.3 薛定谔方程
一、 薛定谔方程引入
经典力学质点运动： 初始状态（位置、速度） 牛顿方程 任意时刻质点的状态。 量子力学波函数： 初始状态波函数 薛定谔方程 任意时刻波函数的状态。 薛定谔在1926年建立了薛定谔方程 1、对波函数所满足的方程的要求
也是一个可能的波动过程。
波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 二、量子力学的态迭加原理
如果 1 和 2 是体系的可能状态，那么它们的线性 迭加：c1 1c2 1（c1 ，c2是复数）也是这个体系
的一个可能状态。
三、电子双缝衍射 P
设 1 表示电子穿过上面窄
缝到达屏的状态，设 2 表 示电子穿过下面窄缝到达
p2
2
U(r)
波函数所满足的微分方程
i t 2 2 2U(r)
(2.3-10)
§2.7 一维线性谐振子 §2.8 势垒贯穿 第二章 小结
§2.5 定态薛定谔方程
例题：
§2.1 波函数的统计解释
一、波动－粒子二重性矛盾的分析
物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子， 没犯错误？
实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表 现出来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与 原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。
第二章 波函数和薛定谔方程
【教学目的】 正确了解波粒二象性的本质及波函数的统计解 释，了解薛定谔的建立过程，了解态迭加原理，掌握几种 典型一维定态问题的求解方法（一维无限深势阱、一维线 性谐振子）。
§2.1 波函数的统计解释 §2.6 一维无限深势阱
§2.2 态迭加原理
§2.3 薛定谔方程
§2.4 粒子流密度和粒子 数守恒定律
2
2、只有 d 有限时才能归一化为1。
自由粒子波函数就是一例。
3、经典波和微观粒子几率波的区别 1、 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几 率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
2、 经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍， 就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定 于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一 倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上 一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；
s1 S
屏的状态。
1 表示电子穿过两个窄缝
s2
到达屏的状态，则有
c1 1c2 2
电子在屏上某点出现的 几率可表示为
电子双缝衍射实验
2 c 1 1 c 2 2 2 c 1 1 2 c 2 2 2 c 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2
正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。
二、波函数的(Born)统计解释
1、几率波
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学
上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波
函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该
点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同 一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
3、 对经典波，加一相因子e i ，状态会改变，而对几率 波，加一相因子e i 不会引起状态改变。
§2.2 态迭加原理
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。微观粒子 的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基本原理：态迭 加原理表现。 一、经典的波遵从的迭加原理
两个可能的波动过程 1 与 2 的线性迭加 a1b2
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
2.3 归一化的波函数
(x,y,z,t)C (x,y,z,t)
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几 率称为几率密度 。
w (x ,y ,z,t) d(W x ,y ,z,t) (x ,y ,z,t)2 d 注意： 1、归一化的波函数还有一不确定的相因子e i