U ( x) 剪滞效应引起的附加纵向位移
(x)--截面转角
在这里的ห้องสมุดไป่ตู้导中，放弃了直法线假定，采用了截面转角这样的广 义位移。
为建立分析方程，引入以下四条假定： （1） T形梁在竖向荷载作用下，截面中和轴仍位于初等梁理论计算 的位置；
（2） 翼缘板纵向位移 u( x, y ) 沿宽度方向按三次抛物线变化（作此 假设的前提一般是根据过去的试验和经验，通过理论分析与实际比较 相符）
1 x2 3 9 9G 2 2 2 E I f [( ) U (U ) U ]dx 2 x 1 2 2 14 5Eb
I
f
2tb h 2
1
将外荷载势能、腹板应变能和翼板应变能合并，得结构的总势能
I I f Iw
3.4.5 基本微分方程的建立 写出了结构的总势能后，利用最小势能原理就可以建立利用变分法计 算结构剪力滞的基本微分方程。 根据变分法则，对包含三个广义位移的能量泛函式Π 求一阶变分，再
根据虎克定律，引入应力应变关系
根据材料力学，上翼缘等效板中的剪力可表示为
由此我们得到了剪力与剪切变形的关系，对两边取导数，于是对q1有
一般式为
将上式两边各微分一次，并将各杆的平衡方程代入，可以得到
式中各参数符号代表的意义如下
q1(x)、q2(x)：两块板中的待定剪力流； q0(x) ：腹板顶面上那根杆的已知剪力流函数； 建立了上面的方程组以后，通过求解方程组，就能计算出各板 上的剪力。 在求解方程组之前，我们需要先研究对应于各种实际状态的边 界条件。
1 2 dydx 1 2tE 2 [ (1 2 tE xu x 1 0 x 1 0 h 1 2 2
x2 b x2 b x2 b 2 x1 1 0
3
3 3 b 1 x2 2 y 2 y 2 2 2tE h 2 [( ) 2 U (U ) 3 U 3 (U ) 2 1 0 2 x1 b b y6 6 (U ) 2 ]dydx b 1 x2 3 9 2 2 2tE h [( ) U (U ) 2 ]dx 1 2 x1 2 14 1 x2 3 9 2 E I f [( ) U (U ) 2 ]dx 2 x1 2 14 f f1 f 2
将正应变与剪应变的表达式代入翼缘板应变能的表达式中 ,对y积分

f

2 1 x2 b 2 2 t ( E G )dxdy f 1 f 2 xu u x 1 0 2 4
2 1 x2 b 1 x2 b 9 y f 2 2 x1 0 2tG u dxdy 2 x1 G 0 6 b 2
（3）翼缘板的竖向纤维无挤压，即
,翼缘板平面外剪切变形
以及横向应变，均很小，可略去不计。
(4) 对于超静定梁，当计算外荷载产生的弯矩M(x)分布时，不考虑翼
缘板有效宽度的变化对它的影响，即M(x)沿跨长方向的分布为已知函数。
在上述假定下，利用最小势能原理，求变分方程的驻值条件，从 而建立广义位移的微分方程，求解微分方程，求出广义位移，从而 获得截面实际的应力分布。 在上述假定下，剪切应变可写为
3 3

上
E z上

3

N Ez a
3 上
3
对上式进行两次积分，就得到了挠曲线的表达式：
积分常数可由边界条件确定。 计算出考虑剪滞影响的挠曲线后再与按初等梁理论计算的比较， 就可以得到以挠度表示的剪力滞系数。
3） 翼缘板的有效宽度
工程上常用剪滞系数来表示剪力滞的影响：
与单向板和短悬臂板的设计一样，在设计中一般不具体地每一截 面地计算剪力滞，而是通过认识到剪力滞并考虑其影响后，采用有效 宽度的设计方法来进行设计。对于T形梁截面，有效宽度定义为：
第三章 剪力滞分析方法及应用
3.1 概述 1）剪力滞效应的概念和解释 初等梁理论中,我们假定离中性轴同一距离的截面,在弯矩作用 下沿宽度方向截面的正应力是相等的。实际的带翼缘板的T梁和箱 形截面梁，在对称垂直力作用下，翼缘板上的正应力沿宽度方向呈 不均匀的分布状态。这种由于腹板处剪力流向翼缘板中传递的滞后 而导致翼缘板正应力沿宽度方向呈不均匀分布现象，称为“剪力滞 效应”。如果靠近腹板处翼缘板中的正应力大于初等梁理论的正应 力，称为“正剪力滞效应”，反之称为“负剪力滞效应”。
进行等效变换后，上翼缘变为承受轴向力的杆，由于假定了中性轴 不变，因此采用的等效面积应满足：
假定等效翼缘板的厚度是原翼缘板的β倍，那么等效翼缘板的面积用 原截面的面积表示为:
等效翼缘板的厚度
为求等效系数α、β，考察等效关系
3 3 2 h2 h b h 2 2 t h 2 2 t t I w t w h ( z上) bt z上 ( z上) t w h ( z上)bt 12 2 12 2 12 12 2 h I 1 h 1 2 2 t ( ) h ( )bt t w h bt A f上 h t z z 上 上 w h z上 12 12 z上 h z上 2 z上
① 调谐函数法 以肋板结构为基础，取肋板和翼缘板为隔离体，肋 板用初等梁理论分析，而翼缘板由平面应力分析，用逆解法求解应 力函数，然后根据肋板和翼板之间的静力平衡条件和变形条件，建 立方程组，求出未知数，从而导得翼板的应力和挠度解。其代表是
T.V.Karman 的经典解法。 ②正交异性板法 将肋板结构比拟为正交异性板，寻求其解，得到剪 力滞的结果。 ③折板理论 将箱梁离散为若干矩形板，以弹性平面应力理论和板的 弯曲理论为基础，利用各板结合处的变形和静力平衡条件，建立方 程组，可用矩阵形式进行计算。
西南交通大学博士学位论文，2006年 2 程海根：薄壁箱梁剪力滞效应理论分析与试验研究，西南交
通大学博士学位论文，2003年
3.4 T形梁剪力滞的变分方法
3.4.1 基本假定
在本节介绍的计算T形梁的剪力滞的变分法中，为改善挠度计算精度，
( x ) ，以考虑腹板剪切变形的影响。 选取三个独立的广义位移U ( x) 、 w( x ) 、
b) 加劲板由加劲杆和系板两者组合而成，并且假定轴向力由加劲 杆承受，系板只传递剪力，泊松系数的影响略去不计。 c) 作用于T形梁任意截面上的竖向剪力Q（x）完全由腹板承受，并 且均匀分布于腹板上。于是与腹板相连的那根加劲杆，作用的剪力 流可近似为
q0(x)=Q(x)/h
(2) 加劲板面积的计算 在前面假定的基础上，我 们首先要把等效结构的面积和 板厚计算出来。 在初等梁理论 中，上翼缘的应力为

w w x
一般采用直法线假设时， w
3.4.3 结构总势能 结构总势能由三部分组成，即外荷载势能、腹板应变能和翼缘 板应变能。
在后面的推导中，计算外荷载势能时，考虑剪力在剪切变形上所 做的功
腹板的应变能可根据其应变能密度积分求得
翼缘板的应变能为
上式中的正应变和剪应变可根据u(x,y)的表达式写出
于假定剪力作用在对称轴线上，因此结 构对称，可取一半进行分析。 为分析方便，将各杆的面积分别记 为右图所示值。 建立微分方程的思路是：在距自由 端x截面处截取微段Δx，取拉力为正， 对于每根加劲杆,可建立加劲杆轴力与联 系板上剪力流的关系
接下来讨论变形关系
在相邻两加劲杆之间的系板上，任意 单元的剪切角变化率则为
3.3 箱梁剪力滞的比拟杆分析方法
对于箱梁截面(包括带悬臂的箱梁截面)同样可以用比拟杆法进 行剪力滞分析。与T形梁不同的是，箱梁截面有下翼缘，采用比拟 杆法分析时，下翼缘也需要模拟为加劲板。 对于箱形截面，其模拟分析的思路与T形梁一样。 相关内容自学。
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1 王慧东: 薄壁箱梁剪力滞效应及其对桥梁行为影响的研究，
经过简化可写出关于广义位移的基本微分方程
根据变分原理，我们可得到所讨论问题的基本方程和边界条件
将上面的（2）、（3）式相加，并去掉负号，得
将上式与第（1）式联合，可得到分离的关于广义位移的方程
n，k称为瑞斯勒参数。由上面的推导过程得
hU
1 2
2
2
dydx
9U 1 x2 1 x2 2 9U 2tGb h1 dx G I f dx 2 2 x 1 x 1 2 2 5b 5b 9GU 1 x2 EIf dx 2 x 1 2 5E b
2
f1
y ] ) U b3 3 3 y y 2 2 2tE h 2 ( ) 2 2(1 ) U (1 3 ) (U ) ]dydx 3 b b
求出上翼缘的等效面积后，接下来是把面积分配到比拟杆上。
分配的方法是假定的,是否合理一般需要根据分析结果与实际测试 比较确定。
分配的方法是把上翼缘板的等效面积βbt按中间杆平均分配、 边杆分中间杆的一半的原则进行分配；把腹板的等效面积分配到腹 板顶面的中间杆上，写成数学表达式是
3.2.2
微分方程组的建立
对于比拟杆法，一般是将计 算出的各杆的轴向应力拟合成曲 线，然后再积分。对于杆比较少 的模拟，则根据等效宽度的定义， 可写出具体的计算公式来。
在比拟杆法中，比拟杆越多，分析的精度越高。最少、最简 单的是三杆比拟法，采用三杆比拟法，得到的剪力流微分方程只 有一个,最终结果是一个二阶线性非齐次方程,其求解相对要简单得 多。采用三杆比拟法进行分析时，杆间距的选取对计算结果有一 定的影响，使用时需注意。
④ 板壳理论
⑤ 梁格法 将上部结构等效为梁格来进行计算分析。 B 比拟杆法 C 变分法 D 数值解法 有限元法、有限条法和有限段法
3.2 T梁剪力滞的比拟杆分析方法简介
3.2.1 基本原理 (1) 基本假定
a） T形梁在竖向荷载作 用下，原来由翼板和 腹板共同承担的内力， 现在模型化为由一块 加劲板与一根下弦杆 组成的等代结构来承 担，而中和轴的位置 保持不变。