2020届高三例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，22224441624R a a h =++=++=，24πS =．例2：如下图所示三棱锥A BCD -，其中5AB CD ==，6AC BD ==，7AD BC ==，则该三棱锥 外接球的表面积为 ． 【答案】55π【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，55πS =．例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 ．DCBA培优点十四 外接球一、墙角模型二、对棱相等模型三、汉堡模型【答案】4π3【解析】设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ， 则12a =，正六棱柱的底面积为231336()428S =⋅⋅=， 则33988V Sh h ===，∴3h =， 22241(3)4R =+=，也可22231()()122R =+=，1R =， 设球的体积为V '，则4π3V '=．例4：正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 ． 【答案】4π3【解析】方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =， 故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，4π3V =． 方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC △的外接圆， 此处特殊，SAC Rt △的斜边是球半径，22=R ，1=R ，4π3V =．例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）四、切瓜模型五、垂面模型A．3πB．2πC ．16π3D．以上都不对【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(RR=+-，32=R，2164ππ3S R==．法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是22sin603R==︒，下略．例6：三棱锥ABCP-中，平面PAB⊥平面ABC，PAB△和ABC△均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP-外接球的半径为．【答案】15【解析】如图，12222sin603r r===︒，3221==rr，312=HO，六、折叠模型35343121222=+=+=rHOR，153R=．法二：312=HO，311=HO，1=AH，352121222=++==OOHOAHAOR，315=R．例7：在矩形ABCD中，4=AB，3=BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB--，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．125π12B．125π9C．125π6D．125π3【答案】C【解析】52==ACR，25=R，344125125πππ3386V R==⋅=，故选C．七、两直角三角形拼接在一起对点增分集训一、选择题1．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．32π3B ．4πC ．2πD ．4π3【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线， 故22R ==，即得1R =，所以该球的体积344ππ33V R ==． 2．已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2SA =，4SB SC ==，则该三棱锥的外接球的半径 为（ ） A ．3 B ．6C ．36D ．9【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S ABC -的三条侧棱为棱的长方体的外接球，3=． 3．在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且AB CD x ==，BC DA y ==，CA BD z ==，则222x y z ++等于（ ） A ．2 B ．4 C ．8D ．16【答案】C【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则222224a b c ++==，根据题意222a b x +=，222b c y +=，222a c z +=，则2222222()8x y z a b c ++=++=．4．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．36π B ．72πC ．144πD ．288π【答案】CB【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径2πsin 33r =⋅=正四棱锥顶点到底面的距离为8h ==， 设正四棱锥的外接球的半径为R ，则有222()R r h R =+-，即222(8)R R =+-，解得6R =． 则所求球的表面积为24π144πS R ==．5．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ） A．2BCD ．3【答案】A【解析】球O的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径31π2sin 3r =⨯=2223()22R R =+⇒=．6．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ） AB．C．D ．132【答案】D【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点，那么半径，就是132R ==． 7．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC =BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） AB ．6πC ．5πD ．8π【答案】B【解析】如图所示，由已知，BC AD ⊥，AB BC ⊥，∴BC ⊥面ABD ，∴BC BD ⊥，∴2CD ==，∴222AD AC CD +=，∴AD AC ⊥，取CD 的中点O ，由直角三角形的性质，O 到A ，B ，C ，D其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为24π6π2S ==．8．在三棱锥A BCD -中，ABC △与BCD △都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B ．60πC．D．【答案】D【解析】取BC 的中点为M ，E ，F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM ，DM ，OF ，OE ，OM ，OB ，则E ，F 分别在AM ，DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM BC ⊥，AM BC ⊥，DM BC ⊥，所以AMD ∠为二面角A BC D --的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AMDM ⊥，又AM DM ==，所以13EM FM AM === 所以四边形OEMF为正方形，所以OM =OMB 中，球半径OB ===所以外接球的体积为V ==．C9．在矩形ABCD 中，2AC =，现将ABC △沿对角线AC 折起，使点B 到达点B '的位置，得到三棱锥B ACD '-，则三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．大小与点B '的位置有关【答案】C【解析】由题意，AC 的中点为三棱锥B ACD '-的外接球的球心，∵2AC =，∴球的半径为1，∴三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为4πS =．二、填空题10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为则该球的体积为 ． 【答案】125π6【解析】如图所示，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在它的高PO '上，设球的半径为R ，底面边长为，所以4AC =，在AO O 'Rt △中，222OA O O O A ''=+，即()22242R R =-+，所以52R =，所以球的体积34125ππ36V R ==．11．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 ． 【答案】29π【解析】由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（,,a b c +∈R ），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ， 24π29πS R ==．12．在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 ． 【答案】29π2【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,， 则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ，∴291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，29π2S =． 13．在直三棱柱111C B A ABC -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111CB A ABC -的外接球的表面积为 ． 【答案】160π3【解析】282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，160π3S =表． 14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为的正三角形，SC 为球O 的 直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 ．【答案】6【解析】36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h，11336V Sh ===球． 15．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，45C ∠=︒，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面1体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】4π【解析】如图，易知球心在BC 的中点O 处，=4πS 表．16．在边长为32的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120︒的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 ． 【答案】28π【解析】如图，取BD 的中点M ，ABD △和CBD △的外接圆半径为221==r r ，ABD △和CBD △的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，28πS =．。