省始兴县风度数学 课外培优练习
2．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2
1A B ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N.
（Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值.
1．解法一：PO ⊥平面ABCD ， PO BD ∴⊥ 又,2,2PB PD BO PO ⊥==， 由平面几何知识得：1,3,6OD PD PB ==
= （Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角，
四边形ABCD 是等腰梯形，1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥
5,22,2BC AB CD ∴===
又//AB DC ∴四边形EBCD 是平行四边形。
5,2ED BC BE CD ∴====
E ∴是AB 的中点，且2AE =
又6PA PB ==，PEA ∴∆为直角三角形，22622PE PA AE ∴=
-=-=
在PED ∆中，由余弦定理得 222215cos 215235
PD DE PE PDE PD DE +-∠===⋅⋅⋅ 故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为215 （Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角
P AB C --的平面角
2sin 2
PO PEO PE ∴∠==，045PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045
（Ⅲ）连结,,MD MB MO ，
PC ⊥平面,BMD OM ⊂平面BMD ，PC OM ⊥
又在Rt POC ∆中，
3,1,2PC PD OC PO ====，
233,33PM MC ∴==，2PM MC
∴= 故2λ=时，PC ⊥平面BMD
解法二： PO ⊥平面ABCD PO BD ∴⊥
又PB PD ⊥，2,2
BO PO ==，
由平面几何知识得：1,2OD OC BO AO ====
以O 为原点，,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，(0,1,0)D -，(0,0,2)P
（Ⅲ）设00(,0,)M x y ，由于,,P M C 三点共线，0022z x = PC ⊥平面BMD ，OM PC ∴⊥00(1,0,2)(,0,)0x z ∴--⋅=0020x z ∴=
由（1）（2）知：023
x =-，023z =。
22(,0,33M ∴- 2PM MC
λ∴==，故2λ=时，PC ⊥平面BMD 。
2．解：（A ）（Ⅰ）证明：取A 1B 1的中点F ，连EF ，C 1F
∵E 为A 1B 中点
∴EF ∥ 2
1BB 1…………2分 又∵M 为CC 1中点 ∴EF ∥ C 1M
∴四边形EFC 1M 为平行四边形 ∴EM ∥FC 1 ……4分
而EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1 . FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1 .
∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）EM ∥平面A 1B 1C 1D 1 EM ⊂平面A 1BMN 平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ∴A 1N EM FC 1 ∴N 为C 1D 1 中点
过B 1作B 1H ⊥A 1N 于H ，连BH ，根据三垂线定理 BH ⊥A 1N ∠BHB 1即为二面角B —A 1N —B 1的平面角……8分 设AA 1=a ， 则AB=2a ， ∵A 1B 1C 1D 1为正方形
∴A 1H=a 5 又∵△A 1B 1H ∽△NA 1D 1 ∴B 1H=54522a
a a
a =⋅
在Rt △BB 1H 中，tan ∠BHB 1=4
55
411==a a H B BB 即二面角B —A 1N —B 1的正切值为45……12分 （B ）（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a ，AA 1=a(a>0)，则
A 1（2a ，0，a
B （2a, 2a , 0）,
C （0，2a ，0C 1（0，2a ，a ）……2分 ∵E 为A 1B 的中点，M 为CC 1的中点 ∴E （2a , a , 2a M （0，2a, 2a ） ∴EM A 1B 1C 1
D 1 …………6分
（Ⅱ）设平面A 1BM 的法向量为n =（x, y , z ） 又B A 1=（0，2a , －a ） )2
,0,2(a
a BM -=由BM n B A n ⊥⊥,1，得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-24,02202z y z x az ax az ay ),2
,4(a a a n =∴…………9分
而平面A 1B 1C 1D 1的法向量为)1,0,0(1=n .设二面角为θ，则 214
||||cos |11==n n θ又：二面角为锐二面角 214
cos =∴θ，……11分
从而4
5tan =
θ………………12分。