其中 k 为正整数.
这是因为：
A 矩阵 A 与它的转置
1
T
有相同的特征值；
1 | A| ( A ) ; ( A ) ; ( Ak ) [ ( A)]k . ( A) ( A)
12
3.若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角元全为正.
f ( X ) X T AX aij xi x j 正定， 证 因为
（5）若A负定，则A的对角元全为负.
注意: 1.最后一条只是必要条件.
2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的.
17
例4
设矩阵
1 1 0 A 1 1 0 , 0 0 1
显然A的顺序主子式
| A1 | 1 0 , | A2 |
1 1
1 1
0
0 , | A3 | 1 1 0 0 , 1 1 0 0 1
4
定理 n元实二次型 f X AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n.
T
准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正.
5
例1 判别二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x3 2 x1 x2 2 x2 x3
是否正定. 解 二次型对应的矩阵为
| A1 | 5 0 ,
5 2 | A2 | 21 0 , 2 5
2 2
因此 A是正定的，
即二次型 f 正定.
9
5
| A3 | 2 5 1 88 0 , 2 1 5
例3 设有实二次型
2 2 2 f x1 x2 5 x3 2t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
(2) f x 2 x 3 x 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (2) f 的矩阵为
顺序主子式
1 2 0 A 2 2 2 , 0 2 3
1 2 2 2 2 0 ,
1 0,
所以 f 是不定的.
20
练习：
P244 习题六
2
4 解得 t 0 . 5
10
三、正定矩阵的性质
1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.
准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正.
11
三、正定矩阵的性质
1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.
| A | 12 n 0
2.若 A 为正定矩阵,则 AT , A1 , A , Ak 都是正定阵，
k 1,2,, n
a k 2 a kk
8
例2 判别二次型
2 2 2 f 5 x1 5 x2 5 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3
是否正定. 解 二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为：
2 2 5 A 2 5 1 , 2 1 5
且C是实对称阵，故C是正定矩阵.
22
2. 设 A 是 m 阶实对称阵且正定,B 为 m n 实矩阵， 试证: B AB 为正定阵的充分必要条件是 r ( B ) n .
T
证 则对任意实 n 维向量 x o ,有 x T BT A B x 0 ,
T 即 ( Bx ) A( Bx ) 0 , 可见 Bx 0 ,
即矩阵 A A 为正定矩阵.
15
T
6.设 A 为 m n 矩阵， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
T
类似结论有：
设 A 为 n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.
设 A 为 n 阶正定矩阵,P 为 n m 矩阵,且 r ( P ) m n ， 则 P AP 为正定矩阵.
代入二次型，得 f (0,,1,,0) d k 0 ，
与二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) 正定矛盾.
3
2 2 2 （1）二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) d1 y1 d2 y2 dn yn 正定
的充分必要条件是 d i 0 .
（2） 二次型 X AX 若正定， 经过可逆线性替换 X CY ，
T
化为 Y (C AC )Y ，其正定性保持不变.
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y o ，就有 X o ，
即 Y T (C T AC )Y 0 . 于是 X AX 0 ， T T 由替换的可逆性，若 Y (C AC )Y 正定，也可推出
T
X T AX 正定.
由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只 要通过非退化线性替换，将其化为标准形，就容易由 以下定理判别其正定性.
求得 A 的特征值为 2, 2 3 ，
全为正， 因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
21
备用例题
1. 设A, B分 别 为 阶, n阶 正 定 矩 阵试 判 定 分 块 m ,
A 0 矩 阵C . 0 B 是 否 为 正 定 矩 阵 解 C是正定的.
因为 设z T ( x T , y T )为m n维向量 其中x, y分别 , , 是m维和n维列向量若z 0, 则 x, y不同时为零向量 , , 于是 0 x T T T A x T Ax y T By 0 , z Cz ( x , y ) 0 B y
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
13
5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵P，使得 A P T P .
实际上，正定二次型的规范形为
2 2 2 z1 z2 zn ,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵P ，使
A P T EP P T P .
14
6.设 A 为 m n 矩阵， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
但对角元有正有负，显然A是不定的.
18
例5
判定下列二次型是否为有定二次型.
2 1 2 2 2 3
2 2 2 (1) f 2 x1 6 x2 4 x3 2 x1 x2 2 x1 x3
(2) f x 2 x 3 x 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (1) f 的矩阵为
二、正定矩阵、正定二次型的判别
由定义，可得以下结论：
2 2 2 （1）二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) d1 y1 d2 y2 dn yn 正定
的充分必要条件是 d i 0 .
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
取 假设某个dk 0 ， yk 1 ，其余 y j 0 ( j k ) ，
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证 对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ 解
1 t | A2 | 1 t2 0 , 顺序主子式为：| A1 | 1 0 , t 1
1 t 1 f 的矩阵为 A t 1 2 , 1 2 5
| A3 | | A | 5t 4t 0 ,
顺序主子式
1 2 1 A 1 6 0 , 1 0 4
2 1 11 0 , | A | 38 0 , 1 6
19
20,
所以 f 是负定的.
例5
判定下列二次型是否为有定二次型.
2 1 2 2 2 3
2 2 2 (1) f 2 x1 6 x2 4 x3 2 x1 x2 2 x1 x3
1 1 0 A 1 2 1 , 0 1 3
1
|E A| 1 0
1
0 1 3
6
2
1
1
|E A| 1 0
1
0 1 3
2
1
2 1 0 c1 c2 c3 ( 2)(2 4 1) , 2 2 1 2 1 3
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是 所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
T
T
T
16
显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定 （半正定）的.由此，容易得出以下结论： （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；
（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负； （3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正； （4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；