定理3-6.3 集合A的一个划分确定A的元素间的一个 等价关系。 证明：设集合A的一个划分S={S1,S2,…,Sm},现定义 一个关系R＝{<x,y>|x∈A，y∈A，x，y属于同一分 块}，可以证明，R是等价关系。 I:对任意a∈A,a和a在同一分块，故<a,a>∈R,R自反 II:若a和b在同一分块，则b和a也在同一分块，即 aRb必有bRa，R对称
注意：商集中不记录重复的等价类，故实际上是所有 等价类集合的类别体现。 例：前例整数集合I上的模3同余等价关系R的商集为：
I/R={[0]R,[1]R,[2]R}，即商集只表示等价类的种类一 共是三种。该商集也可表示为I/R=[3]R,[-2]R,[5]R}等 形式。
定理3-6.2 集合A上的等价关系R，决定了A的一个 划分，该划分就是商集A/R。 证明 I：在A/R={[a]R|a∈A}中， [a]R A
等价关系与等价类的性质
1. 定理3-6.1 aRb iff [a]R=[b]R。
证明:
必要性:因为有aRb,对任意x∈[a]R,有aRx,由R对称,得 bRa,由R传递,得bRx,知x∈[b]R，即[a]R [b]R;同理 可证明[b]R[a]R，故[a]R=[b]R 充分性:因为[a]R=[b]R,a∈[a]R有a∈[b]R,故有bRa,R是 等价关系，有aRb. 证毕.
(2)R={<x,y>|x∈I,y∈I,x≡y(mod 3)}
解：[0]R={…,-6,-3,0,3,6,…}
[1]R={…,-5,-2,1,4,7,…}
[2]R={…,-4,-1,2,5,8,…}
显然有： [0]R= [3]R= [-3]R=…
[1]R= [4]R= [-2]R=…
[2]R= [5]R= [-1]R=…
aA
II:对于A的每一个元素a，由于R是自反的，故必有 aRa成立，即a∈[a]R，故A的每个一元素的确属于一 个分块 III:A的每个元素只能属于一种分块[a]R≠[b]R,即得aRx且bRx,由R是等价关系可推出aRb, 则有[a]R=[b]R,这不可能。
III: 若a与b在同一分块中，b与c在同一分块中，因为
SiSj= (i≠j) 故a与c必在同一分块，即
aRb∧bRcaRc，R传递
该定理的应用:由集合上的一种划分求等价关系的方法
设集合A上的一种划分S={S1,S2,…,Sm}，则
m
R S k S k 一定是等价关系。
k 1
划分与等价关系是一一对应的，由此得到一个 定理—— 定理:如果有划分:H={A1,A2,…,An},
II(对称性):<a,b>∈Ra≡b(mod k)b≡a(mod k),故<b,a>∈R,R对称。 III(传递性):任意<a,b>∈R且<b,c>∈R,即 a≡b(mod k)且b≡c(mod k),显然有a≡c(mod k),故 <a,c>∈R,即R传递。 综合I，II，III，有R是等价关系。
3-7
相容关系
定义3-7.1 给定集合A上的关系R，若R是自反的， 对称的，则称R是相容关系。
定义3-6.2 设R为集合A上的等价关系，对任何 a∈A，集合[a]R={x|x∈A∧aRx}称为元素a形成的 R等价类。 例：写出以下等价关系的所有等价类。
(1)R={<1,1>,<1,4>,<4,1>,<4,4>,<2,2>,<2,3>, <3,2>,<3,3>}
解：[1]R=[4]R={1,4} [2]R=[3]R={2,3}
2.关于等价类的性质：
1）[a]R一定非空且a∈[a]R。
证明 等价关系R自反，故<a,a>∈R，有 a∈[a]R。 2）aRb [a]R=[b]R
3）< a，b > R ,则[a]R∩[b]R=
定义3-6.3 集合A上的等价关系R，其等价类集合
{[a]R|a∈A}称作A关于R的商集，记作A/R。
则RH=A1×A1∪A2×A2∪…∪An×An
其中RH是指由H所确定的一个等价关系R.
例:设A={1，2，3，4，5}，有一个划分H={{1，2}， {3}，{4，5}}，求由该划分确定的A上的一个等价 关系R。
定理3-6.4 设R1和R2为非空集合A上的等价关系， 则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。 证明：必要性:若R1=R2,显然有A/R1=A/R2。 充分性:由A/R1=A/R2证明R1=R2 任取序偶<a,b>∈R1,则a,b∈[a]R1,因为A/R1=A/R2, 则存在[x]R2∈A/R2,有[x]R2=[a]R1,即有a,b∈[x]R2, <x,a>∈R2且<x,b>∈R2,R2是等价关系,容易推出 <a,b>∈R2,故R1R2;同理可证, R2R1。
3-6 等价关系与等价类
定义3-6.1 设R为定义在集合A上的一个关系，若R是 自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。 例1：平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等 价关系；上海市的居民的集合中，住在同一区的关系 也是等价关系。 例2：设I为整数集合，R={<x,y>|x≡y(mod k)}，证 明关系R为等价关系。 证明 I(自反性):任意a∈I,有a≡a(mod k),故 <a,a>∈R