习题版权属物理学院物理系《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动一、选择题：1．假设一电梯室正在自由下落，电梯室天花板下悬一单摆(摆球质量为m ，摆长为l ) 。
若使单摆摆球带正电荷，电梯室地板上均匀分布负电荷，那么摆球受到方向向下的恒定电场力F 。
则此单摆在该电梯室内作小角度摆动的周期为： [C](A) Fmlπ2 (B) Flm π2 (C) Fmlπ2(D) mlF π2 解：2．图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统。
组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同。
(a)、(b)、(c)三个振动系统的2（为固有角频率）值之比为[B ](A) 2∶1∶21(B) 1∶2∶4 (C) 2∶2∶1(D) 1∶1∶2解：由弹簧的串、并联特征有三个简谐振动系统的等效弹性系数分别为：2k，k ，k 2 则由mk=2ω可得三个振动系统的2（为固有角频率）值之比为： m k2 ：m k ：m k 2，即1∶2∶4 故选B 3．两个同周期简谐振动曲线如图所示。
则x 1的相位比x 2的相位 [A ](A) 超前/2 (B) 落后(C) 落后(D) 超前解：由振动曲线画出旋转矢量图可知x 1的相位比x 2的相位超前k mmm k k kk (b)(c) txOx 1 x 2x2A 1A ω4．一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(π+=t A x ω。
则该物体在t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为： [B ] (A) 1:4(B) 1:2(C) 1:1(D) 2:1(E) 4:1解：由简谐振动系统的动能公式：)21(sin 2122πω+=t kA E k 有t = 0时刻的动能为：22221)2102(sin 21kA T kA =+⋅ππ t = T /8时刻的动能为：22241)2182(sin 21kA T T kA =+⋅ππ，则在t = T /8时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为：1:2二、填空题：1．用40N 的力拉一轻弹簧，可使其伸长10cm 。
此弹簧下应挂 kg 的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期s)(2.0π=T 。
解： 弹簧的劲度系数 ()1m N 4001.040-⋅==∆=x F k 弹簧振子简谐振动周期 km T π2= 应挂物体质量 ()kg 0.440022.04222=⨯⎪⎭⎫⎝⎛ππ=⋅π=k T m2．两个同频率余弦交流电()t i 1和()t i 2位相差=-12ϕϕ 。
解：由图作旋转矢量图可知：()t i 1的初相 21πϕ=()t i 2的初相02=ϕ所以 =-12ϕϕ2π-3．一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。
根据此图，它的周期=T ，用余弦函数描述时初相位=ϕ 。
解：由振动曲线和旋转矢量图可知2212=+TT 振动周期 ()s 43.3724==T振动初相 ππϕ3234-=或4．一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）。
当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l ∆,这一振动系统的周期为 ，这时将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量减半的物块，则系统的振动周期又为 。
解：谐振动总能量221kA E E E p k =+= 当A x 21=时 4)2(212122E A k kx E p ===所以动能E E E E p k 43=-=物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，lmgk ∆=， 振动周期gl k mT ∆==ππ22 弹簧截去一半后，其劲度系数为2k lmg∆=2，当挂一质量减半的物块时，其质量为m 21， 振动周期g llmg mT ∆=∆=ππ2212，即为原周期的一半5．一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为)4/cos(05.01πω+=t x (SI))12/19cos(05.02πω+=t x (SI)则其合成运动的运动方程为=x 。
(SI) 解：由旋转矢量图可知：，ππϕϕϕ)125(421=--=-=∆知A oA 1∆为等边三角形，故合成振动振幅 )m (05.021===A A A 合振动的初相 12)43(πππϕ-=--=(或π1223) 2A所以，合振动方程为 )12cos(05.0πω-=t x(SI) 或 )1223cos(05.0πω+=t x(SI)或)1211cos(05.0πω+-=t x (SI) 或 10.05cos()12x t ωπ=-(SI)注：也可用两余弦函数和化积公式：2cos2cos2cos cos βαβαβα+-=+做：)1211cos()32cos(05.0)241219cos()241219cos(05.02π+ω⨯π⨯-=π+ω+π+ω⨯π-ω-π+ω⨯⨯=t t t t t x三、计算题： 1．解:参见图，已知物体最低位置在初始位置下方cm 0.100=x 处，由此可得弹簧振子的振幅为cm 0.5=A 。
同时可以判知，新的平衡位置在弹簧原长端点O '下方cm 0.5处，也就是说，竖直悬挂的弹簧振子将以O 为平衡点作简谐振动，其振动方程为cm )cos(0.5)(ϕ+=ωt t x(1) 物体从初始位置运动到最低位置的过程中机械能守恒，规定O '为重力势能和弹性势能零点，则有021020=-mgx kx 将上式改写为02x gm k =振动频率为Hz 23.22=πω=f 若规定撒手这一瞬间为0=t 时刻，此刻cm 0.5)0(-=x ，即ϕ=-cos 0.5解得π=ϕ求出了特征量A ，ω和ϕ，则该弹簧振子的位移和速度表示就可具体确定为cm )14cos(0.5)(π+=t t x -1s cm )14sin(70)(⋅π+-=t t v(2) 物体在初始位置下方cm 0.8处，即位移cm 0.3=x ，由位移表达式)14cos(0.53π+=t得53)14cos(=π+t由勾股定理，可得54)14sin(=π+t 根据速度表达式，该处的速度为-1s cm 56)14sin(70⋅-=π+-=t v（3mM km k +π=π2141o 'ox（4）原物体与砝码系在一起时，其新的平衡位置处重力和弹性力大小相等，即g m M kx )(+=式中2m ωk =因此，新的平衡位置在弹簧原长端点下方的距离x已知在原物体g m 100=在一起时，质量g m M 400=+，按比例，新平衡位置在弹簧原长端点下方cm 20处。
这是一种较简洁的分析求解法。
2．解： (1) 振动周期振动角频率 (2)00>v 由振幅公式，可得(3) 振动方程为 或 )310cos(1015)cos(2+⨯=ϕ+ω=-t t A x （SI ）3．解：如图所示，取逆时针方向为正，则振动系统所受合力矩为-≈θ-θ=)(sin sin a b mg mga mgb M 对于振幅很小的振动有 θ-≈)(a b mgM 由于合力矩M 与θ 的正负号相反， 所以上式可写为 θ)(a b mg M --= 系统转动惯量)(2222b a m mb ma J +=+=A由转动定律22d d tJ M θ=得θθθ)()()()(d d 222222b a a b g b a m a b mg J M t +--=+--== 即0)()(d d 2222=+-+θθb a a b g t 故系统做简谐振动，其角频率 22)(ba ab g +-=ω简谐振动周期或由系统机械能守恒求导数做：选O 所在水平面为零势能面有系统机械能 C mgb mga mb ma =-++θθωcos cos )(21222（C 为常量） 对时间求一阶导数有 0sin sin d d )(2222=+-θ+θmgb ωθmga ωtωmb ma对于振幅很小的振动有 θb a a b g t )()(d d 2222+--=θ或由等效于教材中的复摆做：MghJT π2= 等效质心到转轴距离： 2ab h -= 等效质量：m M 2=等效转动惯量：)(22mb ma J +=。