t
d t dt
d tdt
t 2 C 2
1 0 0 2 C2 2
1 2
C2 0
t 2
1 2
1
x A ( R r ) cos ( R r ) cos y A ( R r ) sin ( R r ) sin
'
O
'
B
vB

300
A
60
0
O
0 v A

解：
v A OA 0 200 3 600(rad / s)
v B v A v BA [v B ] AB [v A ] AB
v B cos 30 0 v A 600
vB 600 692.84(mm / s) 0.866
120 5 268.33(mm)
vB

2 2
A
B

450
450
x
O
vA

vD ID AD 268.33 2 5636.66(mm / s)
[习题8-9] 图示一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及 与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。已知：ＯＡ＝ＢＤ＝３００ ｍｍ， ＯＢ＝４００ｍｍ，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２ｒａｄ／ｓ，试求Ｄ点 的速度。 解：
9
牵连运动：AC杆上与A相重点相对于地面的运动。 绝对运动：A相对于地面的运动。
v A ve v r



600
vA
v BA


b 200 ve OA 2 2 462(mm / s) 0 0.866 cos 30
vr
A

1500
vB
vA


vA

ve 462 533(mm / s) 0 0.866 cos 30
v A O1 A O1 750 6 4500(mm / s)
v B v A v BA [v B ] AB [v A ] AB
v B v A cos 30 0 4500 0.866 3897(mm / s)




OB
AI
vB 2250 3 3.75(rad / s) OB 2 300 3
v B cos 60 0 vCx




y
x
30
0
v Cy
C

600
vB
600
B

v Cx
600
A

vCx 100 0.5 50(mm / s)
vC v A vCA [v A ] AC [vC ] AC

vA
30 0

y
x

v A cos 30 0 vcy cos 30 0 vcx cos 60 0





[习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ1 ＝６ｍ／ｓ， ｖ２＝２ｍ／ｓ。齿 条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。 解：
A
0.5m
6m / s

vO
2m / s

v1

O
0.5m

v2
I
运动分析如图所示。其中，I为速度瞬心。
vo 2 0.5 62 1

2n 2 3.14 10 1.047(rad / s) 60 60
vE R 150 1.047 157.05(mm / s) （向上）
3
vD r 50 1.047 52.35(mm / s) （向下）
钢管作平面运动，其中心的速度（习题8－3结论）为：
C3 0
A
Rr t 2 2r
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
x A ( R r ) cos y A ( R r ) sin
t 2
2
t 2
2
A
Rr t 2 2r
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢 量和之一半。 已知：如图所示， AC CB ， 求证： vC 证明：
2500 (mm) 3
6
v A OA 0 300 2 600(rad / s)
AC BD
vA 600 0.72(rad / s) AI 2500 / 3
vD BD BD 300 0.72 216(mm / s)
[习题8-10] 图示一传动机构,当ＯＡ往复摇摆时可使圆轮绕Ｏ１轴转动。设ＯＡ＝１５０ｍｍ， Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，在图示位置，ω＝２ｒａｄ／ｓ，试求圆轮转动的角速度。
30 0
v Cy
C

600
vB
B

v Cx
600
A

vA
30 0

vC v B vCB [v B ] BC [vC ] BC




0 vCx vCx 0
vC v A vCA [v A ] AC [vC ] AC

v A cos 30 0 vcy cos 30 0
第八章 刚体的平面运动习题解
[ 习题 8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为：
xC r cos r cos 0 t yC r sin r sin 0 t
vcy v A 200(mm / s)
vC vcy 200mm / s （方向沿着负 y 轴方向）
[ 习题 8-7] 题8-６中若ｖＢ与ＢＣ的夹角为６０°，其它条件相同，试求Ｃ点的速度。
30 0
30 0
vB

600
vA

4
解：运动分析如图所示。
vC v B vCB [v B ] BC [vC ] BC

v A ， vB
vA



vC

1 (v A v B ) 2
vB

B
C
A
AB
I
2
v B v A v BA v A AB AB
vC v A vCA v A
1 1 1 AB AB v A (v B v A ) (v A v B ) 。本题得证。 2 2 2
vE

vO

v0
1 (157.05 52.35) 52.35(mm / s) （方向：向上。） 2
vD

[习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图 示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。 解：
y
x
0 t （顺时针转为负）。
[ 习题 8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点 的平面运动方程。 解：
d dt
d dt
t C1
0 0 C1 C1 0
解： BD 杆与AC杆的角速度相同，即： BD AC ，确定了 AC ，问题便可解决。AC杆作平面运动。 OA与BD作定轴转动。如图1所示，I为AC杆此时的速度瞬心，图中 v B 为AC杆上此瞬时与铰B重合 的 B 的速度。
'
'
cos AI
OA 300 AB 500 AB 500 AI AI
AB 1500 3000(mm) sin 30 0.5
AB
v A 4500 1.5(rad / s) AI 3000
两轮啮合点（OB的中点）的速度：
vnhd＝(BI－r2 ) AB (3000 0.866 300 1.732) 1.5 3117.6(mm / s)
2 2
v Cy

vC

arccos
vcx 50 arccos 73.710 vc 178.29
[习题8-8] 杆ＯＢ以ω＝２ｒａｄ／ｓ的匀角速度绕Ｏ转动，并带动杆ＡＤ；杆ＡＤ上的Ａ点 沿水平轴Ｏｘ运动, Ｃ点沿铅垂轴Ｏｙ运动。 已知ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝１２０ｍｍ， 求t 2
v A OA ( R r ) t r A
A
Rr t r
d A R r t dt r
d A Rr t dt r
Rr t2 A C3 r 2
0 Rr 0 2 C3 2r
I
vnhd 3117.6 6(rad / s) r1 300 1.732
[ 习题8-12] 活塞Ｃ由绕固定轴Ｏ′转动的齿扇带动齿条而上下运动。在题8-１２附图所示位 置，曲柄ＯＡ的角速度ω０＝３ｒａｄ／ｓ，已知ｒ＝２００ｍｍ，ａ＝１００ｍｍ，ｂ＝２０ ０ｍｍ，求活塞Ｃ的速度。
8
O B




O B
'
v B 692.84 3.464(rad / s) b 200
vC v啮合点＝aO' B 100 3.464 346.4(mm / s) （活塞的速度，方向向上）