《机械工程测试技术基础》第三版熊诗波-黄长艺-课后答案机械工程测试技术基础第三版课后题答案1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。

画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==∑+∞-∞=,3,2,1,0;)(0n eC t x n tjn nω式中：所以：[]()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰⎰⎰,6,4,2;0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12000200200202200000000000n n n A j n n Aje e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt et x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T tjn T T tjn n πππππωωππωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞-∞=,7,5,3,1;2)(0n e n A j t x t jn n ωπ1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:令:2)单位阶跃函数的频谱:fj dt e e dt e e dte t xf X t x et x ft j tft j t ft j tππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(0220021101=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===⎰⎰⎰∞+---∞--→--→dt e e dt et x f X t x et x ft j t ftj tπαπαα1lim )()(;)(lim )(222202=⎪⎫ ⎛===∞+----→--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

解：⎩⎨⎧≥<=Tt T t t t x ;0;cos )(0ω()[]210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 212cos )()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dtte f dt et x f X ft j t f j t f j TT TTft j ftj1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 解：)0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t αωα()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===-∞+---+∞-+∞∞--⎰⎰⎰)(21)(21222sin )()(002022200200f f j f f j j dt e e e j e dtet f edt e t x f X ft j t f j tf j tftj tft j παπαππππαπαπ1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。

在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。

试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。

示意画出调幅信号及其频谱。

又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？ 解：当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象[]())22(21)22(2121)(2cos )()()(0022220200f f F f f F dt e e e t f dtet f t f dt et x f X ftj t f j t f j ftj ftj ππππππππππ-++=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅==-∞+∞---+∞∞-+∞∞--⎰⎰⎰1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μx 和均方值φx 2和概率密度函数p (x )解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）=arcsin(x (t )/x 0)等式两边对x 求导数：2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？ 解：()()()ωωωτωωX Y j j H =+=+=135.0111)(1)(11122002000t x x x t x x dx dt -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωω)(1221lim lim 1lim)(22000t x x dx dt T T tx T T x x p x x T x -=⋅=∆⋅∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=→∆∞→→∆π()()2277.01135.011⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πωωA当T=1s 时，()41.01=ωA ，即xYA A 41.0=，误差为59%当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33%当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8%2.3求周期信号()()45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为()105.01+=s s H 的装置后所得到的稳态响应。

解： 利用叠加原理及频率保持性解题()()()45100sin 2.09010sin 5.0+++=t t t x()()()22005.01111ωτωω+=+=A ，()()ωωφ005.0arctg -=101=ω，()11=ωA ，() 86.21-ωφ()()86.29010sin 15.01-+⋅⨯=t t x ，1002=ω ，()89.02=ωA ，() 57.262-=ωφ()()4557.26100sin 89.02.02+-⋅⨯=t t y()()()43.18100sin )178.0(14.8710sin 5.0+-++=∴t t t y2.7将信号t ωcos 输入一个传递函数为()121+=s s H 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出()t y 的表达式。

解： ()()()90sin cos +==t t t x ωω()11+=s s H τ，()()211τωω+=A ，()τωφarctg -=()()()()τωωτωarctg t t y -++=90sin 112=()()τωωτωarctg t -+cos 1122.8求频率响应函数()()2176157753601.013155072ωωω-++j j 的系统对正弦输入()()t t x 8.62sin 10=的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式()()()()[]22221nn n j j j a H ωωξωωτωωω+++⋅=()()()()()21256125621256101.01222⨯+⨯+-⋅+=ωξωωj j∴()()2157753617612568.621101.08.6211222⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯+=ωA7.199.069.1=⨯= 对正弦波，122107.12=⨯==A ux2.9试求传递函数分别为2224.15.1nn S S ωω++和22224.141nn nS S ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应） 解： ()()()ωωω21HH H ⋅=()1735.05.35.11+=+=S S H ω，31=S()22224.141nn nS S H ωωωω++=，412=S12341321=⨯=⋅=S SS2.10想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解： 由振幅误差()%511||0≤-=-=-=ωA A A AAA E III∴ ()%95≥ωA 即 ()()%95112=+=τωωA ，()95.01002112=⨯+t π，s 41023.5-⨯=τ当πππω1005022=⨯==f ，且s41023.5-⨯=τ时()()%7.981001023.51124≈⨯⨯+=-πωA∴ 此时振幅误差%3.1%7.9811=-=E ()()3.91001023.54-≈⨯⨯-=-πωφarctg2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。

已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比14.0=ξ，问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其振幅比()ωA 和相角差()ωϕ各为多少？若该装置的阻尼比可改为7.0=ξ，问()ωA 和()ωϕ又将作何种变化？解： 作频率为400Hz 的正弦力测试时 ()2222411⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n nA ωωξωωω()222280040014.0480040011⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31.1≈()212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n arctg ωωωωξωϕ2800400180040014.02⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-=arctg6.10-≈ 当阻尼比改为7.0=ξ时 ()()97.08004007.04800400112222≈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωA()4380040018004007.022-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-=arctg ωϕ即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。

同时测得其振荡周期为6.28s 。

设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解： 最大超调量 5.1211==⎪⎪⎭⎫⎝⎛--ξπξe M 即 13.015.1ln 12≈+⎪⎭⎫ ⎝⎛=πξ且 28.62==ddTωπ∴ 128.6212≈=-=πξωωn d()01.113.0111122≈-=-=ξωn系统的传递函数()()()1222++==nnSSk s X s Ys H ωξω()101.113.0201.1322+⋅⨯+=S S该装置在无阻尼固有频率处的频率响应由()()()()122++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n n j j KX Yj H ωωξωωωωωn n j K ωωξωω212+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴ ()j j K j H n n n 26.03212=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωξωωωdω为有阻尼固有频率M=0.5，12==Tdπω215.01ln 1212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--M e M πξξξπ 21ξωω-=n d，∴ 02.112=-=ξωωdnS=3∴()S S S s H nn n⋅++=2222ωξωω304.144.004.12⨯+⋅+=S S()98.63412=⨯=ξωn A （nωω=时代入得）()()90,21-==ωϕξωA()2πωϕ-=∞-=arctg n()⎪⎭⎫⎝⎛-=202.1sin 98.6πt t y 4.1解 ：μ=2μm 时，单臂，004U R R U y ∆=04U RR S U g y ε⋅⋅=)(1033*1204102120266V U y --⨯=⨯⨯⨯⨯= 双臂，002U R RU y ∆=02U RR S U g y ε⋅⋅=)(1063*1202102120266V U y --⨯=⨯⨯⨯⨯= ：μ=2000μm 时，单臂，004U R RU y ∆=04U RR S U g y ε⋅⋅=)(1033*1204102000120236V U y --⨯=⨯⨯⨯⨯=双臂，002U R RU y ∆=02U RR S U g y ε⋅⋅=)(1063*1202102000120236V U y --⨯=⨯⨯⨯⨯= 双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。