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高考总复习 ·课标版 ·A 数学（文）
问题探究 1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它 是函数具有奇偶性的什么条件？
提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．
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4．对称性 若函数 f(x)满足 f(a－x)＝f(a＋x)或 f(x)＝f(2a－x)，则函数 f(x)关于直线 x＝a 对称． 若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(a－x)或 f(x)＝－f(2a－x)，则 函数 f(x)关于点(a,0)成中心对称．
答案：D
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2．(2012 年广东)下列函数为偶函数的是
A．y＝sin x
B．y＝x3
C．y＝ex
D．y＝ln x2＋1
()
解析：选项 A、B 为奇函数，选项 C 为非奇非偶函数，选 项 D 中函数定义域为 R，设 f(x)＝ln x2＋1，则 f(－x)＝ ln －xห้องสมุดไป่ตู้＋1＝f(x)，所以 f(x)为偶函数，故选 D.
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(对应学生用书 P35)
1．奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝ f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－ f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
1．(2012 年陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的
为
()
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝1x
D．y＝x|x|
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解析：y＝x＋1 是非奇非偶函数，A 错；y＝－x3 是减函数， B 错；y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C 错；y＝x|x|为奇函数， 当 x≥0 时 y＝x2 为增函数，由奇函数性质得 y＝x|x|在 R 上为 增函数，故选 D.
答案：D
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3．(2012 年上海)已知 y＝f(x)是奇函数．若 g(x)＝f(x)＋2 且 g(1)＝1，则 g(－1)＝__________.
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奇函数的图象关于 原点 对称；偶函数的图象关于 y轴 对 称．
2．判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤 是： (1)考查定义域是否关于 原点 对称；
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问题探究 2：如果 T 是函数 y＝f(x)的周期，那么 kT(k∈ Z)是否一定也是该函数的周期？
提示：当 k＝0 时，不是；k≠0 时，是．
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考纲要求
考情分析
结合具体 函数，了 解函数奇 偶性及周 期性的含 义.
从近三年的高考试题分析 1．对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，如2012 年陕西卷2.利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数 奇偶性求函数值，如2012年上海卷9；根据函数奇偶性求参数值 ，如2011年浙江高考卷11等．解答此类问题时，要先判断函数 的定义域是否关于原点对称，再研究f(x)与f(－x)的关系． 2．对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期、利用周期 性求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题．充分利用 题目提供的信息，迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类 问题的关键． 3．高考中考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质，而是综 合考查，如2012年福建卷7，所以需要对函数的各个性质非常熟 悉并能结合函数图象的特点，对各个性质综合运用． 预测：2013年仍将以函数的性质及应用为主，考查延续选择填 空题形式，分值5分.
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(3)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 奇函数 ，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ． (4)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关于 原点对称的任意一个数集)．
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(2)考查表达式 f(－x)是否等于 f(x)或－f(x)： 若 f(－x)＝ －f(x) ，则 f(x)为奇函数； 若 f(－x)＝ f(x) ，则 f(x)为偶函数； 若 f(－x)＝ －f(x) 且 f(－x)＝ f(x) ，则 f(x)既是奇函数 又是偶函数； 若 f(－x)≠－f(x)且 f(－x)≠f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不 是偶函数，即非奇非偶函数．
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3．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ，偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 (填“相同”、 “相反”)． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
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5．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝ f(x) ， 那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期；如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存 在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小 正周期．