条件投入需求
给定w1, w2和y， 最小成本 投入组合是 如何确定的？
总成本函数是如何计算？
等成本曲线
包含相同成本的投入组合的曲线就是等 成本曲线。
例如，给定w1和w2， $100等成本线方 程为
w1x1 w2x2 100.
等成本曲线
一般地，给定w1和w2，等成本线的方程 为
x1 ,x 2 0
s.t. f (x1, x2 ) y.
成本最小化 问题
最小成本投入组合中的x1*(w1,w2,y)和 x1*(w1,w2,y) 是厂商对投入1和2的条件需 求（条件需求）
生产y单位产出的（最小的可能）总成本产 出是
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y).
第二十章
成本最小化
成本最小化
一个厂商是成本最小化者（costminimizer），如果对于任意给定产出水 平y 0 ，它总是尽可能使用最小的总成 本。
c(y)代表厂商为制造y单位产出可以达到 的最小的总成本。
c(y)是厂商的总成本函数。
成本最小化
当厂商面临给定的投入价格w = (w1,w2,…,wn) 时，总成本可以写作 c(w1,…,wn,y).
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
(b)等成本线斜率= 等产量线斜率
即
w1 TRS MP1
w2
MP2
at
(x*1, x*2 ).
x2*
f(x1,x2) y’
x1*
x1
成本最小化的科布-道格拉斯例子
厂商的科布-道格拉斯生产函数是
y f (x1, x2 ) x11/3x22/3.
投入价格是w1和w2. 厂商的条件投入需求函数是什么？
x*1


w2 2w1

2/3
y
x*2

2w1 w2

w2 2w1

2/ 3
y


2ww21
1/
3
y
是厂商对投入2的条件需求
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
生产y单位产出最便宜的投入组合是
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)

.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
从(b),
x*2

2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
代入(a)得到
y

(x*1
)1/
3

2w1 w2
x*1
2/3
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
成本最小化的科布-道格拉斯例子
投入组合(x1*,x2*) 使得 生产y单位产出的成本最小化：
(a)
y (x*1)1/3(x*2 )2/3
且
(b)
w1 w2



y/ y/
x1 x2


(1 (2
/ /
3)(x*1 )2/3(x*2 )2/ 3)(x*1 )1/3(x*2 )1/
3 3


x*2 2x*1
.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
从(b),
x*2

2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
一个内点成本最小化投入组合： x2 (a) f (x*1, x*2 ) y 且
(b)等成本线斜率= 等产量线斜率
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
一个内点成本最小化投入组合： x2 (a) f (x*1, x*2 ) y 且
成本最小化 问题
老驴厂商使用两种投入进行生产。 生产函数是
y = f(x1,x2). 将产出水平y 0 视作给定 当投入价格w1和w2给定，投入组合
(x1,x2)的成本是 w1x1 + w2x2.
成本最小化 问题
对于给定的w1, w2和y，厂商的成本最小 化问题是
min w1x1 w2x2
成本最小化 问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
一个内点成本最小化投入组合： x2 (a) f (x*1, x*2 ) y
从(b),
x*2

2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
代入(a)得到
y

(
x*1
)1/ 3

2w1 w2
x*1
2/3


2w1 w2

2/3
x*1.
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
从(b),
x*2

2w1 w2
x*1.
(b)
w1 w2

x*2 2x*1
.
代入(a)得到
y
(x*1) Nhomakorabea/ 3
2w1 w2
x*1
2/3


2w1 w2

2/3
x*1.
故
x*1


w2 2w1

2/3
y 是厂商对投入1的条件需求
A 成本最小化的科布-道格拉斯例子
由
x*2

2w1 w2
x*1
以及
即
w1x1 w2x2 c
x2


w1 w2
x1

c w2
.
斜率是- w1/w2.
等成本曲线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
等成本曲线
x2
斜率= -w1/w2.
c” w1x1+w2x2
c’ w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
y’单位产出的等产量线


w2 2w1

2/ 3
y,

2w1 w2

1/
3 y
.
条件投入需求曲线
x2 固定的w1和w2.
y y
y x1
条件投入需求曲线