2/3
x*1.
因此
x*1
w2 2w1
2/
3
y
为厂商对于要素1的条件 需求函数
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
由于
x*2
2w1 w2
x*1
且
x*1
2ww21
2/3
y
x*2
2w1 w2
2ww21
2/3
y
2w1 w2
1/ 3
y
为要素2的条件需求函数
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
因此产出为y的最小成本投入束为：
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
x2 所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
一个内部的成本最小化投入束满足： x2 (a)f (x*1, x*2 ) y
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
w2
MP2
at
(x*1, x*2 ).
x2*
f(x1,x2) y’
x1*
x1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的柯布-道格拉斯生产函数为：
y f (x1, x2 ) x11/3x22/3.
投入要素的价格为w1 和 w2. 厂商的条件投入要素需求函数为什么？
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
生产y单位产出的最小化成本的投入束满足：
成本最小化问题
假设厂商使用两中要素来生产一种产品 生产函数为：
y = f(x1,x2). 产出水平y 0 给定。 给定价格水平w1 和w2, 投入束(x1,x2)的 成本为：w1x1 + w2x2.
成本最小化问题
对于给定的w1, w2 和 y, 厂商成本最小化 问题就是解如下方程：
min w1x1 w2x2
y
y y
y
x1
x*1(y )
x*1
要素投入的条件需求函数
y x2 固定 w1 和 w2.
y y
x*2 ( y ) x*2(y )
x*1 ( y ) x*1 ( y )
y x*2(y)
x*2(y )
x*2
y y
y y
y
一个内部成本最小化投入束满足： x2 (a)f (x*1, x*2 ) y 且
(b)等成本线= 等产量线的斜率
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
一个内部成本最小化投入束满足： x2 (a)f (x*1, x*2 ) y 且
(b)等成本线= 等产量线的斜率
w1 TRS MP1
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
x2 所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
x2 所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
x2 所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
将其代入 (a) 中可得
y
(x*1
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
由
(b)可得
x*2
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
将其代入 (a) 中可得
y
(x*1
w1x1 w 2x2 c
x2
w1 w2
x1
c w2
.
斜率为- w1/w2.
等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
等成本线
x2
斜率= -w1/w2.
c” w1x1+w2x2
c’ w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
y’单位产出的等产量线
x2 所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
成本最小化
成本最小化
假如厂商在给定产出水平y 0 的前提下 ，以最小可能总成本生产，那么厂商是 一个成本最小化的。 c(y) 表示生产y单位产出的厂商最小可能 总成本 c(y) 为厂商的总成本函数。
成本最小化
当厂商面对给定的投入要素价格 w = (w1,w2,…,wn) ， 总成本函数可以写成 c(w1,…,wn,y)。
x1 ,x 2 0
st
f (x1,x2 ) y.
成本最小化问题
在最小成本投入束中的要素投入量 x1*(w1,w2,y) 和 x1*(w1,w2,y) 为厂商对于投 入要素1和2的条件需求函数。 生产y单位产出时的最小可能总成本为：
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y).
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
2/3
x*1.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
由
(b)可得
x*2
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
将其代入 (a) 中可得
y
(x*1
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/投入的条件需求函数
x2 固定 w1 和 w2.
y y
y x1
要素投入的条件需求函数
y x2 固定 w1 和 w2.
y
y x*2(y)
x*2
x*2(y ) x*1 ( y )
(x1*,x2*)
(a)
y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
且
(b)
w1 w2
y y
/ /
x1 x2
(1 / 3)(x*1 )2/3(x*2 )2/3 (2 / 3)(x*1 )1/3(x*2 )1/3
x*2 2x*1
.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
投入要素的条件需求
给定w1, w2 和 y, 最小成本投入束位于何 处？ 总成本函数如何计算？
等成本线
一条包含成本为定值的所有投入束称为 等成本曲线。 例如，给定 w1 和 w2, $100 的等成本线 方程为：
w1x1 w2x2 100.
等成本线
一般来说，给定w1 和w2, 总成本为$c 的 等成本线方程为：
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
由
(b)可得
x*2
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
由
(b)可得
x*2
2w1 w2