第1节 数学模型
例2： 解：设Ⅰ、Ⅱ两种产品在计划期内的产量分别为x1、x2 z =2x1+3x2→max 2x1+2x2≤12 x1+2x2≤8 满足 4x1≤16 4x2≤12 x1，x2≥0
第1节 数学模型
特征 （1）决策变量 （2）约束条件 （3）目标函数

第1节 数学模型
二、线性规划问题 特征（三要素） （1）决策变量：问题中的未知量 （2）目标函数：问题要达到的目标（最大或最 小），表示为决策变量的线性函数 （3）约束条件：表示为含决策变量的一组互不矛 盾的线性等式或线性不等式的函数约束和决策 变量的非负约束
第一章 绪论
第一章 绪论
一、运筹学的定义 运用科学的方法研究管理和工程中各种决策问题， 为决策者提供科学的决策依据的学科。 二、运筹学的研究方法 将实际问题定量化和模型化，运用数学、统计学、 计算机科学和工程等学科的原理和技术研究各 种组织系统的管理问题和生产经营活动，以求 得到一个合理的运用资源的最优方案，达到系 统效益的最优化。
x2 0
第1节 数学模型
三、线性规划数学模型的标准形式（标准型）
max z c j x j
j 1 n
n 2， ，m aij x j bi，i 1， j 1 x 0，j 1， 2， ，n j



目标函数求最大值 函数约束条件全为等式 决策变量全为非负 函数约束条件右端项全为非负
第1节 数学模型
一、规划问题 含义：如何合理地利用有限的人力、物力、 财力等资源，以便得到最好的经济效果。
第1节 数学模型
例1：用一块边长为a的正方形铁皮做一个 容器，应该如何裁剪，使做成的容器的容 积最大（如下图所示）。
x
a
第1节 数学模型
例1： 解：设在铁皮四个角上剪去四个边长各为x 的正方形 V=(a-2x)· (a-2x)·x→max 满足 x≤a/2 x≥0
运筹学
管理科学与工程学院 电子商第四章 第五章 第六章 绪论 线性规划（Linear Programming） 对偶理论（Dual Theory） 运输问题（Transportation Problem） 整数规划（Integer Programming） 图论（Graph Theory）
第1节 数学模型
线性规划问题数学模型的形式 （1）一般形式

max(min) z c1 x1 c2 x2
cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , xn 0
第一章 绪论
三、运筹学的工作步骤 提出问题，并根据需要收集有关数据信息 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约 束条件） 模型求解，获得‘最优’或‘次优’解 检验模型和解的合理性，必要时修正 根据最优方案提出管理建议 帮助实施管理决策
第二章 线性规划
Linear Programming
第1节 数学模型
（2）简写形式
max(min) z c j x j
j 1 n
n aij x j (, )bi , i 1, 2, j 1 x 0, j 1, 2, , n j
,m
（3）向量形式
max(min) z CX n Pj x j (, )b j 1 X 0
第1节 数学模型
例2：某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，都要分 别在A，B，C，D四种不同设备上加工。按工 艺资料规定，生产每件产品Ⅰ需占用各设备分 别为2，1，4，0（小时），生产每件产品Ⅱ 需占用各设备分别为2，2，0，4（小时）。 已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能 力分别为12，8，16，12（小时），又知每生 产一件产品Ⅰ，企业能获利2元，每生产一件 产品Ⅱ ，企业能获利3元。问：该企业应如何 安排生产两种产品各多少件，使企业的利润收 入最大。
（4）矩阵形式
max(min) z CX AX (, )b X 0
第1节 数学模型
例2： 一般形式 矩阵形式 x1 max z =2x1+3x2 max z 2 3 x2 2x1+2x2≤12 2 2 12 x1+2x2≤8 x 1 2 1 8 4x1≤16 4 0 x2 16 4x2≤12 12 0 4 x 0 x1，x2≥0 1
第1节 数学模型
要求：将下列线性规划问题转化为标准型。 例3：min z =x1+2x2+3x3 -2x1+x2+x3≤9 -3x1+x2+2x3≥4 3x1-2x2-3x3=-6 x1≤0，x2≥0，x3取值无约束
第1节 数学模型
例3： 解：令 x1 x1 , x3 x3 x3 , z z max z′=x1′-2x2-3x3′+3x3〞+0x4+0x5 2x1′+x2+x3′-x3〞+x4=9 3x1′+x2+2x3′-2x3〞-x5=4 3x1′+2x2+3x3′-3x3〞=6 x1′，x2，x3′，x3〞，x4，x5≥0
第1节 数学模型
四、线性规划的非标准型如何转化为标准型 目标函数求最小值：令z′＝-z 函数约束条件为不等式： ‘≤’：在函数约束条件左端加非负的松弛变量 ‘≥’：在函数约束条件左端减非负的松弛变量 松弛变量在目标函数中的系数全为‘0’ 决策变量为负值：令xj′＝-xj， xj′≥0 决策变量取值无约束： 令xj ＝xj′- xj〞，xj′≥0， xj〞≥0 函数约束条件右端项（bi）为负值：函数约束条件两 端同乘‘-1’