∴根据复合函数的单调性，得所求的单调递增区间为 (1,1) ． 考向 3 函数单调性的应用
【例】已知
满足对任意
,都有
成立,那么 a 的取值范围是
________． 【解析】 对任意
,都有
成立,
函数在 R 上单调递增,
故答案为 ．
题组训练
3x＋a，x＞1 1.已知函数 f(x)＝ x＋a2，x≤1，若 f(x)在 R 上为增函数，则实数 a 的取值范围是________________．
【解析】 当 a<0，且 ex＋eax≥0 时，必须且只需满足 e0＋ea0≥0 即可，则－1≤a<0；当 a＝0 时，f(x)＝|ex|＝
ex 符合题意；当 a>0 时，f(x)＝ex＋eax，则必须且只需满足 f′(x)＝ex－eax≥0 在 x∈[0，1]上恒成立，只需满足
a≤(e2x)min 成立即可，故 a≤1．
【解析】由于 y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数．
故若使函数 y＝2x＋k＝2x－2＋4＋k＝2＋4＋k在(3，＋∞)上是增函数，则有 4＋k＜0，得 k＜－4．
x－2
x－2
x－2
∴实数 k 的取值范围是(－∞，－4)．
6.（拔高题）函数 f(x)＝ax＋1在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围是________． x＋2
2
－x2＋2x＋1 x≥0 ， 【解析】(1)由于 y＝
－x2－2x＋1 x＜0 ，
－ x－1 2＋2 x≥0 ，
即 y＝
画出函数图象如图所示，
－ x＋1 2＋2 x＜0 .
单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看成 y log1 u 与 u＝x2－3x＋2 的复合函数．

0
，即
f(x1)
f (x2) 0
f(x1)
f
(x2) ，
此时
f(x)＝
ax x2 1
(a＞0)单调递增；
当
x1 ,
x2
(1, )
时，
x1 x2
1

0
，从而
a(x2 x1)(x1x2 1) (x12 1)(x22 1)

0
，即
f(x1)
f
(x2)
0
f(x1)
专题 6 函数的单调性
专题知识梳理
1． 函数单调性的定义
（1） 一般地，对于给定区间上的函数 f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、x2，当 x1 x2
时，都有 f (x1) f (x2 ) （或都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说 f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）．
设
x1 、 x2 ∈ [1 ， ＋ ∞) ， 且
x1<x2 ， 则
f(x1)
－
f(x2)
＝
x1 1＋x21
－
x2 1＋x22
＝
x1（1＋x22）－x2（1＋x21） （1＋x21）（1＋x22）
＝
（x1－x2）（1－x1x2）． （1＋x21）（1＋x22）
∵ x1、x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，∴ x1－x2<0，1－x1x2<0．
综上，－1≤a≤1．
4.函数 f(x)＝ 1 在区间[a，b]上的最大值是 1，最小值是1，则 a＋b＝________．
x－1
3
fa＝1， 【解析】易知 f(x)在[a，b]上为减函数，∴ fb＝1，
3
1 ＝1， a－1 即 1 ＝1， b－1 3
a＝2，
∴
∴a＋b＝6．
b＝4.
5（. 拔高题）使函数 y＝2x＋k与 y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，实数 k 的取值范围是________． x－2
又(1＋x21)(1＋x22)>0，∴ f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
∴ f(x)＝ x 在[1，＋∞)上为减函数． 1＋x2
题组训练
1.下列函数中：
①f(x)＝1 x
②f(x)＝(x－1)2
③f(x)＝ex
④f(x)＝ln(x＋1)
满足“对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)的函数的序号是____________．
(x12 1)(x22 1)
(x12 1)(x22 1)
∵x1＜x2， x2 x1 0 ，又 a 0 ， (x12 1)(x22 1) 0 ．
∴当
x1 ,
x2
(0,1)
时，
x1 x2
1

0
，从而
a(x2 x1)(x1x2 1) (x12 1)(x22 1)
时, 是增函数．
故答案为
．
题组训练
x，x≥0，
1.函数 y＝
的单调增区间为___________；单调减区间为____________．
x2，x<0
【解析】 当 x≥0 时，y＝x 为增函数；当 x<0 时，y＝x2 为减函数．故单调增区间为 (0, ) ；单调减区间为
(, 0) ．
2.求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝ log1 (x2 3x 2) ．
f (x2)，
此时
f(x)＝
ax x2 1
(a＞0)单调递减．
∴函数 f(x)在 (0,1) 上为增函数，在 (1, ) 上为减函数． 考向 2 求函数的单调区间
【例】函数
的单调增区间为________．
【解析】
,
或．
当
时,t 递减, 递减；
当
时,t 递增, 递增．
为单调增函数,
当
时, 是减函数；当
【解析】 满足当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)说明函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，①的减区间是(－∞，0)
和(0，＋∞)；②的减区间是(－∞，1]；③，④在定义域上都是增函数．故填①．
2.试讨论函数
f(x)＝
ax x2 1
(a＞0)在 (0, ) 上的单调性，并证明你的结论．
减减)则增，增减(或减增)则减． 4．函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）>0⇔f(x)在 D 上是增函数；f(x1)－f(x2)<0⇔f(x)在 D 上是减函
x1－x2
x1－x2
数．
(2)对勾函数 y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)，减区间为 ( a, 0) 和 (0, a) ． x
题组训练
1.已知 为 R 上增函数,且对任意 ,都有
,则
______．
【解析】根据题意得,
为常数,设
,则
,
；
,易知该方程有唯一解,
；
；
；
故答案为：10．
2.已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R，m、n 都是实数．如果不等式 f(m)－f(n)＞f(－m)－f(－n)成立，那么
下列不等式成立的是_____________．
（2） 如果函数 y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说 f（x）在这个区间上具有（严
格的）单调性，这个区间叫做 f（x）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数
则称该区间为减区间．
2． 函数单调性的图象特征
对于给定区间上的函数 f（x），若函数图象从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数
3x＋a，x＞1 【解析】∵f(x)＝ x＋a2，x≤1 ，
当 x＞1 时，函数 f(x)＝3x＋a 为增函数，∴a∈R． 当 x≤1 时，函数 f(x)＝x＋a2 为增函数，∴a∈R． 为使 f(x)在 R 上为增函数，必须且只须 3＋a≥1＋a2，解得－1≤a≤2， 综上所述，实数 a 的取值范围是－1≤a≤2． 2.（易错题）若函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 的单调递减区间是 (, 4] ，则实数 a 的取值集合是___________．
图象从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3． 复合函数的单调性
对于函数 y=f(u)和 u=g(x)，如果当 x∈（a，b）时，u∈（m，n），且 u=g(x)在区间(a，b)上和 y=f(u)在区
间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数 y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或
【解析】设
x1, x2
(0, )
且
x1＜x2，则
f(x1)
f
(x2 )

ax1 x12 1来自ax2 x22 1
ax1 (x2 2 1) ax2 (x12 (x12 1)(x22 1)
1)
a[x1x22 x1 x2 x12 x2 ] a(x2 x1)(x1x2 1) ．
【解析】 f(x)＝ax＋1＝ax＋2＋1－2a＝1－2a＋a．
x＋2
x＋2
x＋2
任取 x1，x2∈(－2，＋∞)，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝1x－1＋22a－1x－2＋22a＝1x－1＋2a2xx22－＋x21．
∵函数 f(x)＝ax＋1在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴f(x1)－f(x2)＜0． x＋2
【解析】函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 的图象的对称轴是 x 1 a ．
∵函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 的单调递减区间是 (, 4] ，