利用导数研究函数的单调性、极值、最值一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-13sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )A.[-1,1]B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-13sin2x-sinx , f'(x )=1-23cos2x-cosx ,但f'(0)=1-23-1=-23<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23(2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2x+53≥0恒成立,令t=cosx ,所以-43t 2+at+53≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2+at+53,开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值,故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪=+≥⎪⎩ 解得-13≤a ≤13.2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1,⎧-<<⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为:P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0<x 1<1<x 2,则由于l 1,l 2分别是点P 1,P 2处的切线,而f'(x )=1,0x 1,x1,x 1,x⎧-<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为21x ;又l 1与l 2垂直,且0<x 1<x 2,可得:k 1·k 2=-11x ·21x =-1⇒x 1·x 2=1,我们写出l 1与l 2的方程分别为:l 1:y=-11x (x-x 1)-lnx 1…①,l 2:y=21x (x-x 2)+lnx 2…②,此时点A 的坐标为(0,1-lnx 1),点B 的坐标为(0,-1+lnx 2),由此可得:|AB|=2-lnx 1-lnx 2=2-ln (x 1·x 2)=2,①,②两式联立可解得交点P 的横坐标为x=1212122lnx x 2=x x x x -++,△PAB 的面积为:S △PAB =12|AB|·|P x |=12×2×122x x +=1121x x +≤1,当且仅当x 1=11x 即x 1=1时等号成立,而0<x 1<1,所以S △PAB <1.3.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3-12x 的极小值点,则a= ( ) A.-4B.-2C.4D.2【解题指南】求出f'(x ),解出方程f'(x )=0的根,再根据不等式f'(x )>0,f'(x )<0的解集得出函数的极值点.【解析】选D. f'(x )=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x )=0,得x=-2或x=2,易知f (x )在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f (x )的极小值为f ()2,所以a=2.二、解答题4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f (x )=(x-2)e x+a (x-1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围.(2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ).①设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点;②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a23b b2⎛⎫-⎪⎝⎭>0,故f(x)存在两个零点;③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点,综上,a的取值范围为(0,+∞).(2)不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0,由于f(2-x2)=-x222xe-+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)2x e +a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x222xe--(x2-2)2x e,设g(x)=-x2-xe -(x-2)e x,则g'(x)=(x-1)(2xe- -e x).所以当x>1时,g'(x )<0,而g (1)=0, 故当x>1时,g (x )<0.从而g (x 2)=f (2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.5.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T21)(本小题满分12分)设函数f (x )=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f (x )|的最大值为A. (1)求f'(x ). (2)求A.(3)证明|f'(x )|≤2A.【解析】(1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.(2)当a ≥1时,()()()()() cos 21cosx 11232,||0f a x a a a a f x =+-+≤+-⨯=-= 当0<a<1时,()()()()2cos 21cosx 12cos a 1cos 1,f x a x a a x x =+-+=+-- 令cosx=t ∈1,1⎡⎤-⎣⎦,则f (x )=g (t )=2at 2+()a 1-t-1,其对称轴为t=1a4a-, 当t=1a 4a -∈()1,1-时,解得a<-()1舍去3或a>15, 所以当15<a<1时,因为g (1)=a ,g (1)=3a-2, 则g (-1)-g (1)=2-2a>0, 又()()()1a 17a 1a g g 104a 8a-+⎛⎫---=> ⎪⎝⎭,所以A=g 21a a 6a 14a 8a ⎛⎫-++=⎪⎝⎭. 当0<a ≤15时,()g 1- =a ,()g 1 =2-3a 所以此时()g 1-<()g 1=2-3a.综上可得:A=2123a,0a ,5a 6a 11,a 1,8a 53a 2,a 1.⎧-<≤⎪⎪⎪++<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩(3)由(1)得.当0<a ≤15时,()f'x ≤1+a ≤2-4a<2()23a -=2A ,当15<a<1时,A=2a 6a 1a 1318a 88a 4++=++≥. 所以()f'x <2A.当a ≥1时,()f'x ≤3a-1≤6a-4=2(3a-2)=2A. 综上所述:()f'x ≤2A.6.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T21)(本小题满分12分) 设函数f (x )=lnx-x+1. (1)讨论f (x )的单调性. (2)证明当x ∈(1,+∞)时,1<x 1lnx-<x. (3)设c>1,证明当x ∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .【解析】(1)由题设,f (x )的定义域为()0,∞+,f'(x )=1x-1,令f'(x )=0,解得x=1. 当0<x<1时,f'(x )>0,f (x )单调递增;当x>1时,f'(x )<0,f (x )单调递减. (2)由(1)知f (x )在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=0. 所以当x 1时,lnx x 1.≠<- 故()11当x 1,∞时,lnx x 1,ln1,即x x∈+<-<- x 11x.lnx-<< (3)由题设c>1,设g (x )=1+(c-1)x-c x ,则g'(x )=c-1-c x lnc ,令g'(x )=0.解得x 0=c 1ln lnc lnc-. 当x<x 0时,g'(x )>0,g (x )单调递增;当x>x 0时,g'(x )<0,g (x )单调递减. 由(2)知1<c 1lnc-<c ,故0<x 0<1.又g (0)=g (1)=0,故当0<x<1时,g (x )>0. 所以当x ∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .7.(2016·浙江高考文科·T20)设函数f (x )=x 3+11x+,x ∈[0,1].证明:(1)f (x )≥1-x+x 2. (2)34 <f (x )≤32.【解题指南】(1)利用放缩法,得到41x 11x 1x-≤++,从而得到结论.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ,进行放缩,得到f (x )≤32,再结合第一问的结论,得到f (x )>34,从而得到结论. 【证明】(1)因为1-x+x 2-x 3=()441(x)1x 1x 1x ---=+--, 由于0≤x ≤1,有41x 11x 1x -≤++,即1-x+x 2-x 3≤11x+, 所以f (x )≥1-x+x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ,故 f (x )=x 3+11x +≤x+11x +=x+11x +-32+32=()()()x 12x 133222x 1-++≤+, 所以f (x )≤32,由(1)得f (x )≥1-x+x 2=2133x 244⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭+,又因为f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=1924>34,所以f (x )> 34,综上,34 <f (x )≤32.8.(2016·山东高考理科·T20) 已知f (x )=a ()22x 1x lnx x --+,a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性.(2)当a=1时,证明f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈1,2⎡⎤⎣⎦成立. 【解题指南】(1)求导后,对a 分情况讨论.(2)令g (x )=f'(x )+32 =235x 2x 22x +--,对其求导,求其最大值,判断f (x )min 与g (x )max 的关系,进而可给出证明.【解析】(1)由题意,函数f (x )的定义域为()0,∞+,f'(x )=()()23ax 2x 1x --.① a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 在x ∈()1,∞+时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减.② a>0时,f'(x )=()3a x 1x x x ⎛⎛--+ ⎝⎝,当0<a<2时,>1,当x ∈()0,1或∞⎫+⎪⎪⎭时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增,当x ∈⎛⎝时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减.③ a=2时, ,x ∈()0,∞+时,f'(x )≥0,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.④ a>2时,,当x ∈⎛ ⎝或x ∈()1,∞+时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增,当x ∈⎫⎪⎪⎭时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减.综上:当a ≤0时,函数f (x )在(0,1)内单调递增,在()1,∞+内函数f (x )单调递减.当0<a<2时,函数f (x )在()0,1和∞⎫+⎪⎪⎭内单调递增,在⎛ ⎝内函数f (x )单调递减. 当a=2时,函数f (x )在()0,∞+内单调递增,当a>2时,函数f (x )在⎛ ⎝和()1,∞+内单调递增,在⎫⎪⎪⎭内函数f (x )单调递减.(2)方法一:由(1)知函数f (x )在[1,内递减,在(,2]内递增.故f (x )min =f =+,f'(x )+2335x 2x 222x +-=-.若令g (x )=235x 2x 22x +--,则有g'(x )=24x 4x 6x +-.故存在x 0∈[1,2]使得函数g (x )在[1,x 0)递减,在(x 0,2]递增, 则g (x )max =max ()(){}g 1,g 2,而g (1)=32,g (2)=74,所以g (x )max =74.因为f (x )min -g (x )max -7494-12ln2>2.82-2.25-12ln2>12(1-ln2)>0, 所以,f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈1,2⎡⎤⎣⎦成立. 方法二:因为lnx ≤x-1(当且仅当x=1时等号成立),G (x )=()()22223333x 2x 22x 15x 2x 233x x 21022x x x 2x -+-⎛⎫-+--+-+--=+=≥ ⎪⎝⎭. 又f (x )≥22x 11x -+(当且仅当x=1时等号成立), 即可得f (x )>f'(x )+32.9.(2016·山东高考文科·T20)设f (x )=xlnx-ax 2+(2a-1)x ,a ∈R . (1)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间.(2)已知f (x )在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围. 【解题指南】(1)通过二次求导,研究g (x )的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点12,再分情况讨论.【解析】(1)g (x )=f'(x )=lnx-2ax+2a , 所以g'(x )=1x-2a=12axx-. 当a ≤0,x ∈()0,∞+时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增. 当a>0,x ∈10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增, x ∈1,∞2a ⎛⎫+⎪⎝⎭时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减. 综上:当a ≤0,函数g (x )单调递增区间为(0,+∞).当a>0,函数g (x )单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭,函数g (x )单调递减区间为1,∞2a ⎛⎫+⎪⎝⎭. (2)由(1)知f'(1)=0.①当a ≤0,f'(x )单调递增,所以x ∈()0,1时,f'(x )<0,f (x )单调递减,x ∈()1,∞+时, f'(x )>0,f (x )单调递增,所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题意. ②当0<a<12,12a >1时,由(1)知f'(x )在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增, 所以x ∈()0,1时,f'(x )<0,f (x )单调递减,x ∈11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭时,f'(x )>0,f (x )单调递增, 所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题意. ③当a=12,12a=1时,f'(x )在()0,1内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x ∈()0,∞+时,f'(x )≤0,f (x )单调递减,不合题意. ④当a>12,0<12a <1时,x ∈1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,f'(x )>0,f (x )单调递增, 当x ∈()1,∞+时,f'(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x )在x=1处取得极大值,符合题意. 综上可知a>12.10.(2016·四川高考理科·T21)设函数f (x )=ax 2-a-lnx ,其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性.(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>11xx e --在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).【解题指南】(1)对f (x )求导,对a 进行讨论,判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性,判断最值,证明结论.【解析】(1)由题意, f'(x )=2ax-212ax 1x x-=,x>0.① a ≤0时,2ax 2-1<0, f'(x )<0, f (x )在(0,+∞)上单调递减.② a>0时,f'(x)=2a x xx⎛⎛+-⎝⎭⎝⎭,当x∈⎛⎝时,f'(x)<0;当x∈∞⎫+⎪⎪⎭时,f'(x)>0.故f(x)在⎛⎝上单调递减,在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.(2)原不等式等价于f(x)-1x+e1-x>0在x∈(1,+∞)上恒成立.一方面,令g(x)=f(x)-1x +e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a,只需g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0即可.又因为g(1)=0,故g'(x)在x=1处必大于等于0.令F(x)=g'(x)=2ax-1x +21x-e1-x,g'(1)≥0,可得a≥12.另一方面,当a≥12时,F'(x)=2a+21x-32x+e1-x≥1+21x-32x+e1-x=33x x2x+-+e1-x,因为x∈(1,+∞),故x3+x-2>0,又e1-x>0,故F'(x)在a≥12时恒大于0.所以当a≥12时,F(x)在x∈(1,+∞)上单调递增.所以F(x)>F(1)=2a-1≥0,a≥12,故g(x)也在x∈(1,+∞)上单调递增.所以g(x)>g(1)=0,即g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0.综上,a≥12.11.(2016·北京高考理科·T18)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值.(2)求f(x)的单调区间.【解题指南】(1)利用()()f22e2,f'2e1⎧=+⎪⎨=-⎪⎩列方程组求解.(2)求导数后,再构造新的函数,二次求导.【解析】(1)f'(x)=e a-x-xe a-x+b,由切线方程可得()()a2a2f22e2b2e2,f'2e b e 1.--⎧=+=+⎪⎨=-+=-⎪⎩解得a=2,b=e.(2)f(x)=xe2-x+ex,f'(x)=(1-x)e2-x+e.令g(x)=(1-x)e2-x,则g'(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2).令g'(x)=0得x=2.当x<2时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>2时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=2时,g(x)取得极小值-1,也是最小值.所以f'(x)=g(x)+e≥e-1>0.所以f(x)的增区间为(-∞,+∞),无减区间.11 / 11。