其中 γ 1 ——单位剪力作用下剪切角变形 '' '' v '' = v1 + v2 = − Nv / EI x + γ 1 Nv '' N → v '' + v=0 EI x (1 − γ 1 N )
v dv1 dv2
dz γ
稳定平衡方程的解
N cr =
π 2 EI x (1 − γ 1 N cr )
R = ∫ σ r x 2 + y 2 dA
A
(
r0 =
2
Ix + Iy A
)
2 2 + x0 + y0
理想轴心压杆弹性失稳时的临界方程
Z（扭转角θ）
理想压杆：设剪力中心的初始位移为零时，有：
N
联 合 方 程
EI x v IV + Nv '' − Nx0θ '' = 0
EI y u IV + Nu '' − Ny0θ '' = 0
虚轴
缀条 双肢
缀条 双肢
缀板 双肢
三肢
四肢
考虑剪切变形的稳定平衡方程
考虑剪切变形影响的稳定平衡方程
总变形关系 弯曲变形关系
v = v1 + v2
'' v1 = − M x / EI x = − Nv / EI x
'' → v2 = γ 1 Nv ''
N
剪切变形关系 dM x dv2 = γ = γ 1V = γ 1 = γ 1 Nv ' dz dz
EI ωθ IV − GI tθ '' − Nx0v '' + ( Nr02 − R)θ '' = 0
无对称轴截面，微分方程的三个方程互相联立， 属于弯扭失稳
实腹式轴压构件整体稳定计算
要求 外力 N ≤ N cr 构件的临界力
N ≤ N cr / γ R 计入抗力分项系数
转化成应力 表达形式 规范 计算公式
构件受扭问题
N
形心o
A － 截面积
任意截面
若横向荷载通过此中心，则构件不会发生扭转，只产生弯曲
双轴对称截面理想压杆的临界力
u0＝v0＝θ 0＝0
x0＝y0＝0
失稳临界力
EI x v IV + Nv '' − Nx0θ '' = 0 EI x v '' + Nv = 0
2 2 2 2 2 = π = π λ N Ex π= EI x / 2 EA ( I / A ) / EA / ox x ox x
边界约束↑，稳定系数↑ ，临界力↑
板屈曲临界力 一般表达式
π 2E t2 χ ⋅ ψt ⋅k ⋅ ⋅ 2 2 12(1 −ν ) b
板组之间 约束系数 弹性模量修正系数 考虑板屈曲时 已进入弹塑性
边界约束条件对板稳定系数的影响（续）
板间的相互影响
考虑板间相互影响的单板修正——采用板组约束系数
σ xcr π 2E t2 =k ⋅ 2 2 12(1 −ν ) b
同理
2 2 2 = N Ey π= EI y / 2 oy π EA / λy
2 2 2 = N Eθ (π 2 EI ω / 2 + GI + = R ) / r π EA / λ oθ 0 t θ
杆端弯曲约束和扭转约束的自由、铰支、固接 约束对应的计算长度系数 失稳临界应力 = σ Ex,y
(3)
屈曲荷载 欧拉临界荷载 Pcr 极限荷载 Pu 压溃荷载
屈曲后极值型失稳 稳定分岔
极限 Pu 荷载
屈曲 Pcr 荷载
变形模式未变化
极值型失稳 第二类失稳
极值型失稳
(2)
失稳分类 （续）
(4)
屈曲 荷载
屈曲后不稳定分岔失稳
有初始缺陷时
圆 柱 壳
(5)
跳跃型失稳
扁壳
轴压构件失稳形式
(1) 弯曲失稳
EI ωθ IV − GI tθ '' − Nx0 v '' + Ny0u '' + Nr02θ '' = 0
式中：Ix、Iy － 截面绕x轴和y轴的主惯性矩
N
Y（位移ν） 剪力中心 S(x0, y0) X（位移μ）
Iw － 截面扇性惯性矩 It － 截面抗扭常数
2 2 r02 = (Ix + Iy) / A + x 0 + y0

2
π 2 EA → N cr = 2 λ x + π 2 EAγ 1
N
格构式构件的换算长细比
格构式轴压构件整体稳定计算
规范 计算公式
N ≤ fd ϕA
d
计算方法同实腹式
1. 稳定系数 ϕ 按(1)钢种、(2)换算长细比λo、(3)截面分类查表 2. ϕ = ϕ min = min ϕ x , ϕ y 按 或 或
x方向屈曲成 m 个半波
EI x v IV + Nv '' = 0
y方向屈曲成 n 个半波
t
Ebh 3 EI x = 12
比较 b h 代入 上式
板屈曲平衡微分方程 板的抗弯刚度 微分方程的解可用双重三角级 数表示 得屈曲临界力
板的稳定分析（续）
当 n ＝1 (y方向一个半波)，Nxcr 最小 令 k＝ —— 板的稳定系数（均匀受压简支板） 与荷载分布状态、边界约束条件有关 临界力
轴压构件稳定系数 柱子曲线
σcr
fy 单条柱子曲线
ϕ= σ cr
fy
多条柱子曲线 （200多条） 影响因素： 截面形式、尺寸 残余应力分布 初偏心、初弯曲、初扭曲
实际 情况
λ
简化
规范归类合并 4条柱子曲线
现行钢结构设计规范的稳定系数（柱子曲线）
针对压杆整体稳定的截面分类
稳定系数的获得－采用计算公式
相对长细比
λ= λ π
fy E
稳定系数的获得－查表
稳定系数计算要点
1. 稳定系数 ϕ 按(1)钢种、(2)长细比λ、(3)截面分类→查表
压杆计算长度
2. ϕ = ϕ min = min ϕ x , ϕ y
按λx 、x方向截面分类查表
{
}
lo μl = i I 回转半径 A λ=
计算长度系数 压杆长度
设初弯曲 挠度 方程
N E = π 2 EI / l 2
稳定临界 平衡方程 跨中 挠度
实际轴压构件整体稳定－受初偏心的影响
力学模型
弹性
弹塑性
压力－挠度曲线
稳定临界 平衡方程 挠度 方程
k 2 = N / EI
跨中 挠度
理想与实际轴压构件整体稳定的对照
欧拉 屈曲临界力
分岔失稳
切线模量 屈曲临界力
极值点失稳 极限承载力
λmax = max{ λox , λy }
λmax = max{ λx , λoy }
{
}
λmax = max{ λox , λoy }
截面分类b，钢号，查表得
ϕ min
实腹式轴压构件的局部失稳
板 件 局 部 失 稳
板件局部失稳
原因
板件受到压应力作用 板件平面尺寸较宽大、厚度较薄
板的稳定分析
四边简支、矩形、理想平板
(2) 扭转失稳
(3) 弯扭失稳
结构稳定分析的原则
• 必须考虑几何非线性的影响 • 必须考虑材料非线性的影响 • 必须考虑结构件的初始缺陷
荷载初偏心 构件初弯曲、初扭曲 构件初始残余应力
理想轴心压杆(实腹式)的整体稳定
理想轴心压杆
• 等截面 • 无初弯曲、扭曲 • 无初偏心 • 无残余应力
按λy 、y方向截面分类查表
3. 当两个截面方向分类相同时 按 λmax = max λx , λy ，截面分类，查表得 ϕ min
{
}
受压构件的计算长度
铰 接 柱 脚
刚 接 柱 脚
支撑
格构式轴心受压构件
横缀条
组成 肢件＋缀材
斜缀条
肢 件
缀 板
缀条
缀板
适用于压力小、 长度大的受压构件 实轴 虚轴 虚轴
第 5章
轴心受压构件
本章主要内容
• 截面强度 • 实腹式轴心压杆的整体稳定 • 实腹式轴心压杆中板件的局部稳定 • 格构式轴心压杆的整体稳定和杆肢稳定 • 轴心受压构件的刚度
轴心受压构件
N
N
受力模型 常用的截面形式
轴心受压构件可能的破坏模式
1. 截面强度破坏：发生在截面有较大削弱处 或非常粗短的构件中 2. 构件整体失稳 3. 构件中板件的局部失稳
压杆跨中截面边缘 纤维开始屈服，进 入弹塑性发展阶段
有初始缺陷轴压杆(实腹式)的弹性微分方程
有初始缺陷的压杆的弹性微分方程（根据开口薄壁杆件理论）
( EI (u EI (θ
y
IV EI x v IV − v0 + Nv '' − Nx0θ '' = 0
IV
IV − u0
ω
IV
− θ 0IV
) ) + Nu − Ny θ = 0 )− GI (θ − θ )− Nx v
k
或
临界应力
b/t －宽厚比
b↑或 t↓→σxcr↓
k min＝ 4
a/b
均匀受压简支板 稳定系数 k
边界约束条件对板稳定系数的影响