Covk E[( yt Eyt )][( xt k Ext k )]
Cov( yt ,xt k ) C k Var( yt )Var( xt k )
• 滞后k期协相关系数为
输入序列 xt 和输出序列 yt 的协相关图
从协相关图可以看出，输出序列和输入序列 的滞后项有显著的相关关系，且滞后阶数比 较多，考虑采用ARMA模型结构，以减少待 估参数的个数。通过反复尝试，得出以下回 归模型
3
64
2
60
1
56
0
52
-1
48
-2
44
-3 50 100 150 XT 200 250
50
100
150 YT
200
250
• 不考虑输入序列和输出序列之间的关系， 将它们分别作为一元时间序列进行分析 • 天然气输入速率序列 xt 模型为：
xt 1.9755xt 1 1.3740xt 2 0.3429xt 3 t
0.5648 0.42573 B 0.29964 B 2 3 yt 53.32256 B xt t 1 0.60057 B
1 t a 2 t 1 1.53 B 0.64 B
再考虑回归残差序列{ t}的性质，从残差序 列的时序图和相关图可以看出，残差平稳且 不存在序列相关性，说明拟合模型有效。
• CO2的输出浓度序列 yt 为AR(1，2，4)疏 系数模型：
yt 53.6736 2.1066 yt 1 1.3394yt 2 0.2123yt4 t
• 考虑到输出CO2浓度和输入天然气速率之 间的密切关系，将输入天然气速率作为自 变量考虑进输出序列的模型中，进一步研 究二者之间的关系。 • 滞后k期协方差函数定义为
例：以1992年1月到1998年12月经居民消费 价格指数调整的中国城镇居民月人均生活 费支出对数序列 {ln Yt }和可支配收入序列 {ln X t } 为例进行分析。
（二）Johansen协整检验法
第四节 误差修正模型
• 误差修正模型（Error Correction Model） 简称为ECM，最初由Hendry和Anderson于1977 年提出，它常常作为协整回归模型的补充模 型出现 • 协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而 ECM模型则解释序列的短期波动关系
yt 0 i xit t
i 1
二、协整检验
（一）Engle-Granger两步协整检验法
• 1、用ADF检验各变量的单整阶数。协整 回归要求所有的变量都是一阶单整的，因 此，高阶单整变量需要进行差分，以获得 I (1) 序列 。 • 2、用OLS法估计长期动态回归方程 （ Yt X t t ），然后用ADF残差估 计值的平稳性。
a bxt ~ I (d )
a bxt ~ I (0)
• 3．若 xt ~ I( 0 ), yt ~ I( 0 ) ，对于任意非零实数 a与b，有 zt axt byt ~ I (0) • 4. 若 xt ~ I (d ) ，yt ~ I (c)，对于任意非零实数 k a与b，有 zt axt byt ~ I (k ) 式中， max[d , c]
1 称为误差修正系数，表示误差修正项对当期 波动的修正力度，且 1 0 ，即误差修正机制
是一个负反馈机制。 （1）若 Yt 1 0 X t 1 ，则 ECM t 1为正，1ECM t 1 0 使得 Yt 减小； （2）若 Yt 1 0 X t 1 ，则 ECM t 1为负，1ECM t 1 0 使得 Yt 增大。
• 虚假回归
Pr{ t t 2 (n) 非平稳序列}
第三节 协整
一、单整与协整 二、协整检验
一、单整与协整
（一）单整（integration）的概念
（二）单整序列的性质
• 1．若 xt
~ I (0)，对于任意非零实数a与b，有
• 2．若xt ~ I (d ) ，对于任意非零实数a与b， 有
1t 2t kt
和Jenkins的理论和方法构建以输入变量为自变 量的ARIMAX回归模型来拟合相应序列的变化。 • 当平稳性条件不满足时，我们就不能大胆地构造 ARIMAX模型，因为这时容易产生虚假回归的 问题。
• 假设条件
H 0 : 1 0 H1 : 1 0
• 检验统计量
1 t
第一节 多元平稳时间序列建模
• 1976年，Box和Jenkins采用带输入变量的ARIMA 模型为平稳多元序列建模。 • 构造思想：假设输出变量序列（因变量序列）{y} t x x x 和输入变量序列（自变量序列）{ }，{ }，…，{ } 均平稳，首先构建输出序列和输入序列的回归模 型，如果有必要，使用ARMA模型继续提取残差 序列{ }中的相关信息。 k • 模型形为 yt i ( B) B l xit t
（三）协整（cointegration）的概念
协整理论是Engle and Granger在1987年 首先提出来的。 假定自变量序列为{x1}, ,{xk } ，响应变量 序列为{ y t } ，构造回归模型 k 假定回归残差序列 t 平稳，我们称响应 序列 { y t } 与自变量序列 {x1},,{xk } 之间具 有协整关系。 注：协整回归的所有变量必须是同阶单整 序列。
1t 2t kt t
i
k 1 i ( B ) ( B ) a t ( B) t
例1
• 在天然气炉中，输入的是天然气，输出的 是CO2，CO2的输出浓度与天然气的输入速 率有关。现在以中心化后的天然气输入速 率为输入序列，建立CO2的输出百分浓度模 型。 • 时序图及样本自相关图直观显示输入序列 和输出序列均平稳
1
1
E-G两步法建立误差修正模型 第一步，先检验两个变量的单整阶数，如果都
是1阶单整， 紧着着进行回归（OLS法），检验
变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关 系参数）； 第二步，若协整性存在，则以第一步求得的残 差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并 用OLS法估计相应参数。
第五节 案例分析
1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 50 100 150 R E S ID 200 250
模型拟合效果图
6பைடு நூலகம் 60
56
52
48
44 50 100 YT 150 200 YTF 250
返回
第二节 虚假回归
• 当因变量序列{y t}和输入变量序列（即自变量序 列）{x }，{ x }，…，{x }都平稳时，可以依据Box
短期影响因素分析
响应序列的当期波动 yt 主要会受到三方面短 期波动的影响： 输入序列的当期波动 xt 上一期的误差 ECM t 1 纯随机波动 t 为定量测定这三方面影响的大小，构建ECM模 型。
误差修正模型
Yt 0X t 1ECM t 1 t ECMt 1 Yt 1 X t 1