3
64
2
60
1
56
0
52
-1
48
-2
44
-3 50 100 150 XT 200 250
50
100
150 YT
200
250
• 不考虑输入序列和输出序列之间的关系， 将它们分别作为一元时间序列进行分析 • 天然气1.3740xt 2 0.3429xt 3 t
T
时，其极限分布为：
( 1 / 2 )(W( 1)2 1) ( W( r )2 dr )1 / 2
0 1
ˆ) S(
维纳过程具有如下性质：
W (1) ~ N (0,1) • （1） 2 W ( r ) ~ N ( 0 , r) • （2） [W (r )] / r ~ x (1) • （3）
1t 2t kt
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§10.3 单位根检验
• DF检验 • ADF检验 • PP检验
DF统计量
• 考虑1阶自回归序列： i.i.d . t ~ N( 0, 2 ) xt xt 1 t • 单位根检验的原假设和备择假设分别为： | | 1 | | 1 H 0： H 1： ˆ • t统计量 t( ) ˆ) S( ˆ 1 • DF（Dickey-Fuller）检验统计量 DF=
yt 3.6729 1.4456yt1 0.5143yt 2 0.5093xt 3 0.3002xt 6 t
再考虑回归残差序列{ t}的性质，从残差序 列的时序图和相关图可以看出，残差平稳且 不存在序列相关性，说明拟合模型有效。
1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 50 100 150 R E S ID 200 250
1t 2t kt t
i
k 1 i ( B ) ( B) a t t ( B )
例10.1
• 在天然气炉中，输入的是天然气，输出的 是CO2，CO2的输出浓度与天然气的输入速 率有关。现在以中心化后的天然气输入速 率为输入序列，建立CO2的输出百分浓度 模型。 • 时序图及样本自相关图直观显示输入序列 和输出序列均平稳
• 第二种类型如式 xt 0 xt 1 t
t ~ N(0, 2 )
t ~ N(0, 2 )
i.i.d .
i.i.d .
• 第三种类型如式 xt 0 at xt 1 t
例10.2对某国1960年到1993年GNP平减指数 的季度时间序列进行DF单位根检验。
• 1.直观判断：GNP平减指数的季度时间序 列绘制时序图，时序图显示序列显著非平 稳。
240 200 160
120
80
40 25 50 75 PT 100 125
• 2.对该时间序列进行DF检验
ADF检验
DF检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检 验，但是实际上绝大多数时间序列不会是一 个简单的AR(1)过程。为了使DF检验能适用 于AR(p)过程的平稳性检验，对DF检验进行了 一定的修正，得到增广DF检验（Augmented Dickey -Fuller），简记为ADF检验。
2 2
DF检验的等价表达
• DF检验可以通过对参数 的检验等价进行：
H0： 0 H1： 0 • 相应的DF检验统计量为：
其中，
ˆ DF 为参数S( ˆ )的样本标准差。
ˆ) S(

DF检验方法的三种适用类型
• 第一种类型如式 i.i.d . xt xt 1 t t ~ N(0, 2 )
模型拟合效果图
64 60
56
52
48
44 50 100 YT 150 200 YTF 250
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§10.2 虚假回归
• 当因变量序列{yt}和输入变量序列（即自变量序 列）{x }，{x }，…，{x }都平稳时，可以依据Box 和Jenkins的理论和方法构建以输入变量为自变量 的ARIMAX回归模型来拟合相应序列的变化。 • 当平稳性条件不满足时，我们就不能大胆地构造 ARIMAX模型，因为这时容易产生虚假回归的问 题。
• CO2的输出浓度序列 yt 为AR(1，2，4)疏 系数模型：
yt 53.6736 2.1066yt 1 1.3394yt 2 0.2123yt 4 t
• 考虑到输出CO2浓度和输入天然气速率之 间的密切关系，将输入天然气速率作为自 变量考虑进输出序列的模型中，进一步研 究二者之间的关系。 • 滞后k期协方差函数定义为
ADF检验的原理
• 对任意一个AR(p)过程
xt 1 xt 1
p xt p t
• AR(p)过程单位根检验的假设： H 0： 0 H1： 0 • 构造ADF检验统计量：
ˆ ADF ˆ) S(
多元时间序列分析
• • • • • 多元平稳时间序列建模 虚假回归 单位根检验 协整 误差修正模型
§10.1 多元平稳时间序列建模
• 1976年，Box和Jenkins采用带输入变量的ARIMA 模型为平稳多元序列建模。 • 构造思想：假设输出变量序列（因变量序列）{yt} x }， { x }，…，{ x} 和输入变量序列（自变量序列）{ 均平稳，首先构建输出序列和输入序列的回归模 型，如果有必要，使用ARMA模型继续提取残差 }中的相关信息。 序列{ k • 模型形为 yt i ( B) B l xit t
Covk E[( yt Eyt )][(xt k Ext k )]
Cov( yt ,xt k ) C k Var( yt )Var( xt k )
• 滞后k期协相关系数为
输入序列 xt 和输出序列 yt 的协相关图
从协相关图可以看出，输出序列和输入序列 的滞后项有显著的相关关系，且滞后阶数比 较多，考虑采用ARMA模型结构，以减少待 估参数的个数。通过反复尝试，得出以下回 归模型