一元二次函数的最值问题
一元二次函数的最值问题是高一知识中的一个重点、热点，也是同学们在学习过程中普遍感到困惑的一个难点，它考查了函数的单调性，以及数形结合、分类讨论等数学思想和方法。

下面对这一知识点进行简单总结。

一、一元二次函数在［m，n］上的最值
1. 设函数
（1）求函数f(x)在区间[m，n]上的最小值。

①当。

②当。

③当。

（2）求函数f(x)在区间[m，n]上的最大值。

①当
②当。

2. 设函数
（1）求函数f(x)在区间[m，n]上的最大值。

①当
②当
③当
（2）求函数f(x)在区间[m，n]上的最小值。

①当。

②当。

二、典型例题
1. 确定所给区间的单调性
例1 已知二次函数f(x)满足，且f(0)=0，f(1)=1，且在区间[m，n]上的值域是[m，n]，求实数m，n的值。

解：∵二次函数f(x)满足
∴函数的对称轴为x=1
又因为，可设。

把f(0)=0代入得到a=－1，即
由题意知函数值域为
因此，函数在区间[m，n]上单调递增
∴或1，n=0或1
综合题意可得m=0，n=1
2. 已知二次函数图象开口方向，需要讨论函数对称轴。

例2 已知函数在区间[－1，2]上的最大值为4，求a的值。

解：函数，对称轴为x=－a。

①当时，
②当，即时，
综上所述，
3. 二次函数的解析式确定，但所给区间需要讨论。

例3 设函数的定义域为[t－2，t－1]，，求函数的最小值的解析式。

解：（1）
①当
②当[t－2，t－1]，即。

③，即3<t<4< span="">时，</t<4<>
4. 二次项系数的讨论。

例4 已知函数上的最大值为1，求a的值。

解：（1）当a=0时，，函数在区间上单调递减，
，不符合题意，所以舍去。

（2）当a>0时，
①当，符合题意。

②当（舍去）。

（3）当a<0时，。

①矛盾。

②时，
=（舍去）
③当（舍去）或。

综上所述可得。