方法二：方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同 一坐标系中作出y＝log3x和y＝3－x的图像如图所示，可观察 判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内．
答案：C
考点二
有关二次函数的零点问题
[例2]
是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x
＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零 点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
解析：∵Δ＝(3a－2) －4(a－1)＝9a 8 ＋9＞0，
2
2
8 2 －16a＋8＝9 a－9
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)· f(3)≤0即可． f(－1)· f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)· (9＋9a－6＋a－1)＝4(1－ 1 a)(5a＋1)≤0.所以a≤－ 或a≥1. 5 检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.
⇒a＝2.
即a＝2时f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2方程的解x1＝x2＝2， ∴a＝2. 11 综上，a＝2或 ≤a＜3. 5
考点三
函数零点性质的应用
[例3]
e2 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋ x (x＞
0，其中e表示自然对数的底数)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围； (2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系 Δ＞0 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a ＞0)的图 像 Δ＝0 Δ＜0
Δ＞0 与x轴的 交点 零点个数 (x1,0)， (x2,0)
Δ＝0 (x1,0)
Δ＜0 无交点 无
8 9 □______ □______
3.二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a，b]上连续不断且 10 □ ______的函数y＝
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，方程在[－1,3] 上有两根，不合题意，故a≠1. 1 13 6 2 (2)当f(3)＝0时，a＝－ ，此时f(x)＝x － x－ . 5 5 5 13 6 2 令f(x)＝0，即x － x－ ＝0，解之得x＝－ 或x＝3，方 5 5 5
2
1 程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－ . 5 1 综上所述，a＜－ 或a＞1. 5
①
②
③
④
A．①② C．①④
B．①③ D．③④
答案：B
4．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区 间为( )
1 B.0，4 1 3 D.2，4
1 A.－4，0 1 1 C.4，2
1 解析：因为f4＝e
手考虑：①结合函数图像；②根据零点存在性定理求某些点 的函数值；③利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一 等．
变式训练1 ( ) A．(0,1)
函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：方法一：函数f(x)＝log3x＋x－3的定义域为(0，＋ ∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f(2)＝log32－1＜0，f(3) ＝1＞0，∴函数f(x)＝log3x＋x－3有唯一的零点且零点在区 间(2,3)内．
变式训练3
已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－
1,1)上有一个零点． (1)求实数a的取值范围； 32 (2)若a＝ 17 ，用二分析：(1)若a＝0，则f(x)＝－4与题意不符，∴a≠0， ∴f(－1)· f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，∴1＜a＜2. 32 32 3 64 28 (2)若a＝ ，则f(x)＝ x － x＋ ， 17 17 17 17 28 ∴f(－1)＞0，f(1)＜0，f(0)＝ ＞0， 17
2 3 4 □x轴 □零点 □f(a)· f(b)＜0
5 6 7 8 9 10 □ (a，b) □ f(c)＝0 □ c □ 两个 □ 一个 □ f(a)· f(b)＜0 ＝0 11 12 13 14 □一分为二 □零点 □f(a)· f(b)＜0 □f(x1)
15 16 □f(a)· 1)＜0 □f(x1)· f(x f(b)＜0
11 解得2＜a＜ . 5
(3)由已知条件f(2)＜0，解得a＞2. 11 (4)由已知条件f(1)f(3)＜0，解得 5 ＜a＜3.
11 7 检验：当f(3)＝0，a＝ 5 时，方程的两解为x＝5，x＝3， 11 当f(1)＝0，即a＝3时，方程的两解为x＝1，x＝5，可知 5 ≤a ＜3.
Δ＝0， 当 1＜a＜3，
故当t－1＋e2＞2e，即t＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两 个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． ∴t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
方法点睛
此类利用零点求参数范围的问题，可利用方
程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图像 求解，使得问题简单明了，这也体现了当不是求零点，而是 利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形 结合法求解．
§2.9
函数与方程
[高考调研
考纲解读
明确考向]
考情分析
•结合二次函数的图像，了解 •函数的零点、方程根的个数是历 函数的零点与方程根的联 系，判断一元二次方程根的 存在性及根的个数． 年高考的重要考点． •利用函数的图像及性质判断函数 的零点，及利用它们求参数取值范
•根据具体函数的图像，能够 围问题是重点，也是难点． 用二分法求相应方程的近似 解. •题型以选择题和填空题为主，常 与函数的图像与性质交汇命题.
m＞0， 等价于 m≥2e或m≤－2e，
故m≥2e.
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函 e2 数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋ (x＞0) x 的图像． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2. 其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.
方法点睛
解决二次函数的零点问题：①可利用一元二
次方程的求根公式；②可用一元二次方程的判别式及根与系 数之间的关系；③利用二次函数的图像列不等式组．
变式训练2 当a为何实数时
关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，
(1)有两个不同正根； (2)不同的两根在(1,3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解．
C．7
解析：方法一：由f(x)＝0得
x＞0， －2＋lnx＝0.
x≤0， 2 x ＋2x－3＝0，
或
解得x＝－3，或x＝e2.
因此函数f(x)共有两个零点．
方法二：函数f(x)的图像如图所示：
可观察函数f(x)共有两个零点．
答案：B.
方法点睛
对函数零点个数的判断可从以下几个方面入
知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义： 1 对于函数y＝f(x)，我们把使 □ ________成立的实数x叫 做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系： 2 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与 □ ______有 3 交点⇔函数y＝f(x)有□______.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一 4 5 条曲线，并且有 □ __________，那么函数y＝f(x)在区间 □ 6 ________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 □ ________， 7 这个□________也就是f(x)＝0的根．
(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交 点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不 同的零点.
基础自测 1.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根， 则实数m的取值范围是( A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) )
解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得： 判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.
答案：C
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点 ( ) A．至少有一个 C．有且只有一个 B．至多有一个 D．可能有无数个
答案：B
3．如图所示的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二 分法求图中交点横坐标的是( )
1 ∴零点在(0,1)上，又f2＝0，
1 ∴f(x)＝0的根为 . 2
思想方法(三)
解析：设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2 －a－2)＝4(a－2)(a＋1)． Δ＞0， (1)由已知条件x1＋x2＝2a＞0， x x ＝a＋2＞0， 1 2
解得a＞2.
Δ＞0， 1＜a＜3， (2)由已知条件 f1＞0， f3＞0，
11 f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间□____，使区 12 间的两个端点逐步逼近 □ ______，进而得到零点近似值的 方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 13 第一步，确定区间[a，b]，验证 □ __________，给定精 确度ε. 第二步，求区间(a，b)的中点x1. 第三步，计算f(x1)： 14 ①若□________，则x1就是函数的零点；
e2 解析：(1)方法一：∵g(x)＝x＋ x ≥2 e2 ＝2e，等号成立 的条件是x＝e. 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m 就有零点．
e2 方法二：作出g(x)＝x＋ x 的图像如图：
可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e. 方法三：解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0. m ＞0， 此方程有大于零的根，故 2 Δ＝m2－4e2≥0