一、相关概念 1.导数的概念：f （x 0）= y lim xx 0 = f(x 0x)f(x 0) limxx 0。

注意：（1）函数f （x ）在点x0处可导，是指x0时，y x 有极限。

如果y x 不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。

（2）x 是自变量x 在x 0处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切 线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f 0）（x －x 0）。

/（x /（x3.导数的物理意义若物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s （t ）。

若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。

二、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①C0;（C 为常数） ②nnxnx1;③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx;xx ⑤(e)e;xx ⑥(a)alna;1⑦;lnxx⑧1 log a xlog aex.2．导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，'u 'v '即：(uv).法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个'u 'vuv '函数乘以第二个函数的导数，即：(uv).法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：u vu 'v 2 vu v'（v0）。

3.复合函数的导数形如y=f (x )的函数称为复合函数。

复合函数 分解——>求导——>回代。

法则：y ＇| X =y ＇|U ·u ＇|X 或者f[(x)]f()*(x). 三、导用 1.函数的单调性与导数 （1）设函数yf(x)在某个区间（a ，b ）可导，如果' f(x)0，则f(x)在此区间上为 增函数；如果 ' f(x)0，则f(x)在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有 ' f(x)0，则f(x)为常数。

2．极点与极值： 曲线在极值点处切率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切率为负，右侧为正； 3．最值： 在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。

但在开区间（a ，b ）内 连续函数f （x ）不一定有最大值，例如 3 f(x)x,x(1,1)。

（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中 的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。

（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。

函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可 能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

四、定积分 1.概念设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0<x1<⋯<xi －1<xi<⋯xn ＝b 把区间[a ，b] 等分成n 个小区间，在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，⋯n ）作和式Inn f ＝(ξi )△x i ＝1nbf(x)dx数fa这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被 积函数，x 叫做积，f(x)dx 叫做被积式。

基本的积分公式：0dx 1m1 1 x m xdx m1x＝C ；＝＋C （m ∈Q ，m ≠－1）；dx ＝lnxx edx ＋C ；＝ x e ＋C ；adxxxacosxdxsinxdx＝lna ＋C ；＝sinx ＋C ；＝－cosx ＋C（表中C 均为常数）。

2.定积质① b ab kf(x)dxkf(x)dx a （k 为常数）；bbbf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx ②；aaa bcbf(x)dxf(x)dxf(x)dx) ③（其中a ＜c ＜b 。

aac 3.定积分求曲边梯形面积由三x＝a ，x ＝b （a <b ），x 轴及一y ＝f （x ）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积 b Sf(x)dx a 。

如果图形y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（（a<b ）围成，那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝ b a b f 1(x)dxf 2(x)dx a 。

4.牛顿——布莱尼茨公式 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且F’(x)=f(x),则bf(x)dxF(b)F(a) a【练习题】题型1：导数的基本运算112【例1】（1）求yx(x)的导数；3xx 1（2）求1)y(x1)(的导数；x（3）求x x yxsincos 的导数；22（4）求y= 2 x sin x的导数；（5）求y ＝ 23xxx5x9x的导数。

解析：（1）312'2312 yx1,y3x.23xx1111（2）先化简,x 2yxx1x 2xx' y 1 2 x 1 2 1 2x 3 2 2 1 x 1 1 x . （3）先使用三角公式进行化简.xx1 yxsincosxsin222x '1'1'1'xxxxxysin(sin)1cos.222（4）y ’= ( 2 x )'sinxx 2 sin 2 x *(sinx)' = 2 x sin x sin 22 x x cos x ； 31（5）y ＝3x 2－x ＋５－29xy ’＝３*（x 3 21 ）＇－x ＇＋５＇－９2(x ）＇＝３* 3 2 1 2 x －１＋０－９*（－1 2 3 ）2 x ＝9 21 x(1)1。

2 x题型2：导数的几何意义【例2】已经曲线C：y=x 3－x+2和点A(1,2)。

（1）求在点A处的切线方程？（2）求过点A的切线方程？（3）若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y=11x－1，则Q点坐标为____________,切线方程为_____________________思考：导数不存在时，切线方程为什么？4【例3】（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方yxlx4y 80l程为（）A ．4xy30B ．x4y 50C ．4x y30D ．x4y 30【例4】（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线21 yxx 的切线，则其中一条切线为（）（A ）2xy20（B ）3xy30（C ）xy10（D ）xy10解析：（1）与直线x4y 80垂直的直线l 为4xym0，即4 yx 在某一点的导数为4，而 选A ；3 y4x ，所以4 yx 在(1，1)处导数为4，此点的切线为4xy30，故（2）y2x1，设切点坐标为(x ,y)，则切线的斜率为2x 01，且 002 y 0x 0x 01，于是切线方程为 2 yx 0x 01(2x 01)(xx 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x ＝0或－4，代入可验正D 正确，选D 。

题型3：借助导数处理单调性、极值和最值【例5】（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f （x ）0，则必有（）A ．f （0）＋f （2）2f （1）B.f （0）＋f （2）2f （1） C ．f （0）＋f （2）2f （1）D.f （0）＋f （2）2f （1）【例6】（06天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x )在开区间(a,b)内有极小值点（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例7】（06全国卷I ）已知函数1x fxe1xax 。

（Ⅰ）设a0，讨论yfx 的单调性；（Ⅱ）若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围。

解析：（1）依题意，当x1时，f （x ）0，函数f （x ）在（1，＋）上是增函数；当 x1时，f （x ）0，f （x ）在（－，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即 有f （0）f （1），f （2）f （1），故选C ；（2）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示， 函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由 负到正的点，只有1个，选A 。

（3）：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=a x 2+2－a －ax 2+2－a－ax2e 。

(1－x)(ⅰ)当a=2时,f'(x)= 22x －2x2e,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在 (1－x)(－∞,1),(1,+∞).为增函数；(ⅱ)当0<a<2时,f'(x)>0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数.；a －2(ⅲ)当a>2时,0<<1,令f'(x)=0,解得x 1=－aa －2 ,x 2= aa －2 a； 当x 变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表: x(－∞,－a －2 )(－ aa －2 , a a －2 )( aa －2 ,1) a(1,+∞) f'(x)＋－＋＋ f(x)↗↘↗↗f(x)在(－∞,－ a －2 ),( a a －2 ,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－ aa －2 , a a －2 )为减a函数。

(Ⅱ)(ⅰ)当0<a ≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1；(ⅱ)当a>2时,取x0=1 2a －2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x 0)<f(0)=1；a(ⅲ)当a ≤0时,对任意x ∈(0,1),恒有1+x 1－x －ax ≥1，>1且e得：f(x)=1+x －ax ≥1+xe1－x1－x>1.综上当且仅当a ∈(－∞,2]时,对任意x ∈(0,1)恒有f(x)>1。

【例8】（06浙江卷）32f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是（）(A)－2(B)0(C)2(D)4【例9】（06山东卷）设函数f(x)= 322x3(a1)x1,其中a1.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。