导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
1.32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ;3.函数331x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3题型二:利用导数几何意义求切线方程1.曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2.若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为 (1,0)3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 430x y --=4.求下列直线的方程:(1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2x y =过点P(3,5)的切线;解:(1)123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即, (2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则200x y =①又函数的导数为x y 2/=,所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有352000--=x y x ②,由①②联立方程组得,⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切线斜率为;2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即,或题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值1.已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1(Ⅰ)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围解:(1)由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为:).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f (2)).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。
依题意)(x f '在[-2,1]上恒有)(x f '≥0,即.032≥+-b bx x①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时; ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时;③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述,参数b 的取值范围是),0[+∞2.已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-.① ②(1) 求函数()y f x =的表达式; (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值;(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件.解:(1) 2()32f x x ax b '=++,由题意得,1,1-是2320x ax b ++=的两个根,解得,0,3a b ==-.再由(2)4f -=-可得2c =-.∴3()32f x x x =--.(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-,当1x <-时,()0f x '>;当1x =-时,()0f x '=; 当11x -<<时,()0f x '<;当1x =时,()0f x '=;当1x >时,()0f x '>.∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数; 在区间[1,]-1上是减函数;在区间[1,)+∞上是增函数. 函数()f x 的极大值是(1)0f -=,极小值是(1)4f =-.(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位,向上平移4m 个单位得到的, 所以,函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---(0m >). 而(3)20f -=-,∴4420m --=-,即4m =.于是,函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-. 令()0f x =得1x =-或2x =.由()f x 的单调性知,142n --,即36n.综上所述,m 、n 应满足的条件是:4m =,且36n.3.设函数()()()f x x x a x b =--.(1)若()f x 的图象与直线580x y --=相切,切点横坐标为2,且()f x 在1x =处取极值,求实数,a b 的值;(2)当b=1时,试证明:不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点.解:(1)2()32().f x x a b x ab '=-++由题意(2)5,(1)0f f ''==,代入上式,解之得:a=1,b=1.(2)当b=1时,()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++= 因,0)1(42>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x . 不妨设21x x <,由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('x f 的符号如下: 当时,1x x <)('x f >0;当时,21x x x <<)('x f <0;当时,2x x >)('x f >0 因此1x 是极大值点,2x 是极小值点.,当b=1时,不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点。
题型四:利用导数研究函数的图象1.如右图:是f (x )的导函数, )(/x f 的图象如右图所示,则f (x )的图象只可能是( D )(A ) (B ) (C ) (D ) 2.函数的图像为14313+-=x x y ( A )3.方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )A 、0B 、1C 、2D 、3题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围xyo 4 -4 2 4 -42 -2 -2x yo 4 -4 2 4 -42 -2 -2xyy 4 -4 2 4 -42-2 -26 6 6 6 yx-4-2 o4 2 241.设函数.10,3231)(223<<+-+-=abxaaxxxf(1)求函数)(xf的单调区间、极值.(2)若当]2,1[++∈aax时,恒有axf≤'|)(|,试确定a的取值范围.解:(1)22()43f x x ax a'=-+-=(3)()x a x a---,令()0f x'=得12,3x a x a==列表如下:x (-∞,a) a (a,3a)3a (3a,+∞)()f x'- 0 + 0 -() f x极小极大∴()f x在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减x a=时,34()3f x b a=-极小,3x a=时,()f x b=极小(2)22()43f x x ax a'=-+-∵01a<<,∴对称轴21x a a=<+,∴()f x'在[a+1,a+2]上单调递减∴22(1)4(1)321Maxf a a a a a'=-+++-=-,22min(2)4(2)344f a a a a a'=-+++-=-依题|()|f x a'≤⇔||Maxf a'≤,min||f a'≤即|21|,|44|a a a a-≤-≤解得415a≤≤,又01a<<∴a的取值范围是4[,1)52.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2)若对x∈〔-1,2〕,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。
解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b由f'(23-)=124a b093-+=,f'(1)=3+2a+b=0得a=12-,b=-2f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:所以函数f (x )的递增区间是(-∞,-23)与(1,+∞),递减区间是(-23,1)(2)f (x )=x3-12x2-2x +c ,x ∈〔-1,2〕,当x =-23时,f (x )=2227+c为极大值,而f (2)=2+c ,则f (2)=2+c 为最大值。