位）。
解：
y次迭代公式
k
0
1
2
3
3.5
3.64
3.63
3.63
6. 试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。 解：
令
y次迭代公式 故
从而 ，时， 故， 故牛顿迭代公式是线性收敛的 7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛
性。
解：
相应的牛顿迭代公式为 迭代函数，， 则，
习题1.1
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如 何？
数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 2. 试证明 及
证明： （1）令
即 又 即 ⑵ 设，不妨设， 令 即对任意非零，有 下面证明存在向量，使得， 设，取向量。其中。 显然且任意分量为， 故有即证。 3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有
解： （1）迭代公式，公式收敛
k
0
1
2
3
0
（2），， 局部收敛 k0 1 2 3
0.25
0.25098 0.25098
456789
1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386
2. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
（1）,对应迭代公式;
9
10
11
12
13
14
15
16
1.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595
迭代公式（2）：
k
0
1
2
3
4
5
6
1.5 1.481 1.473 1.469 1.467 1.466 1.466
3. 已知在[a,b]内有一根，在[a,b]上一阶可微，且，试构造一个局部 收敛于的迭代公式。
0.99166
试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小 数)，并估计其误差.
解：由题意得如下差商表 故 又 故： 3. 设为互异节点(),求证
(1) (2) 证明： 令
又 所以 故
原等式左边用二项式展开得：
由结论 得 即证
4. 若,求和. 解：
5. 证明两点三次te插值余项是 证明：
, (精确到). 解：
由
得： 5． 用Romberg算法计算积分 , (精确到). 解： 由公式 得：
又
即已经达到预定精度 取
6． 试构造两点Gauss公式 ,
并由此计算积分(精确到) .
解： 二次Lagendre多项式： Gauss点为 由公式 得 令 即 使得
习题6
1． 试用三种方法导出线性二步方法
方法即为 3． 形如 的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误 差主项。 解：线性k步公式为
由Gear法的定义知，三步Gear法满足 方法为阶，故有 得： 取得
得三步Gear方法： 其中
4． 试用显式Euler法及改进的Euler法 计算初值问题（取步长h=0.2） 并比较两者的误差。 解：步长 , 真解
其相应的差分方程的多项式为
令， 即方法的绝对稳定域为
7． 指出Heun方法
0
0
0
0
1/3 1/3 0
0
2/3 0
2/3 0
1/4 0
3/4
的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤. 解：
法 中对方法有 类似例将方法应用到得 其中
上述步骤可按如下步骤完成：将原问题初值代入得出当前步的， 然后代入，得出，，再以，作为第2个计算步的初值重复上述步骤 可求出 ，，依次类推即可求出原问题的相继数值序列. 经验证方法满足
解： 方程等价于 构造迭代公式 令 由于在[a,b]上也一阶可微
故上述迭代公式是有局部收敛性. 4. 设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有
局部收敛性。 证明：
在邻近有连续一阶导数，则在附近连续， 令则取 则时有 从而 故 令， 由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。 5. 用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两
7
0.991071 -0.997768
8
1.004464 -0.997768
9
0.997768 -1.001116
10 1.001116 -0.999442
11 0.999442 -1.000279
12 1.000279 -0.999861
13 0.999861 -1.000070
14 1.000070 -0.999965
8. 设计算 . 解：
习题四.1
1. 给出概率积分 的数据表：试用二次插值计算.
X
0.46
0.47
f(x)
0.4846555 0.4937542
解：取插值节点：
0.48 0.5027498
0.49 0.5116683
2. 已知y=sinx的函数表
X
1.5
1.6
1.7
sinx
0.99749
0.99957
（2），对应迭代公式;
（3）,对应迭代公式。
判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4
位有效数字。
解：
（1）
局部收敛
（2） 局部收敛
（3） 不是局部收敛
迭代公式（1）：
01
2
3
4
5
6
7
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
由方法阶相容的充要条件知方法具有三阶相容阶。
. 解：SOR方法
故， 迭代初值
k
0
0.000000 0.000000
1 0.6000000 -1.320000
2 1.2720000 -0.854400
3
0.858240 -1.071648
4
1.071341 -0.964268
5
0.964293 -1.017859
6
1.017857 -0.991071
显式法： 改进法： 显然改进的法误差小于法。
5． 给出线性多步法 为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的. 证明： 线性多步法
的相应多项式 多项式的两根为：，。 由判断零稳定的充要条件 根条件 知：此方法的零稳定的条件为 由于 ，，
，， 得：
当方法为零稳定时 ，从而，故 方法是二阶收敛的。 6． 给出题(6.5)题中时的公式的绝对稳定域. 解： 6.5中当时，即为方法
解：
（1） Taylor展开法
线性k步公式为
得
即得
且
（2） 数值积分法
用矩形求积公式
令（中矩形公式）
即得：
（3） 由隐式欧拉法得
①
由显示欧拉法得
②
1 代入②得
2． 用Taylor展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法.
解：线性k步公式为
，在（6.17）中令 即 取。即
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令可得
解： 当时， 又故 当时，有求积公式
（＊） 其中 由Lagrange差值定理有： 故余项 对（＊）至少有四次代数精度 时 式（＊）左边=右边=
时 故（＊）式具有5次代数精度 3． 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算
, (取步长h=1/6). 解：（1）用复合梯形公式 故
（2）用复合Simpson公式： 4． 用变步长梯形求积公式计算
15 0.999965 -1.000017
16 1.000017 -0.999991 4. 用选列主元高斯消去法求解方程组
解： 解得 5. 用追赶法解三角方程组
解：高斯迶元 回代得 解为
6. 用三角分解法求解方程组 解：系数矩阵三角分解为：
原方程可表为：
解得 解 得
7. 用选主元法去法计算下列行列式的值. 解：
多少位有效数字？ 解：
该近似值具有7为有效数字。 4. 若T(h)逼近其精确值T的截断误差为 其中，系数与h无关。试证明由 所定义的T的逼近序列的误差为， 其中诸是与h无关的常数。 证明：当m=0时 设m=k时等式成立，即 当m=k+1时 即证。
习题2 .1
1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： （1）; (2)。
X
19
25
31
38
44
Y
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解：依题意 故
正则方程为 解得 故拟合曲线为
习题5.
1． 试确定下面求积公式 使其具三次代数精度.
解：要公式有3次代数精度，需有 解得： 故求积公式为
2． 在区间上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及 代数精度.
习题3.1
1. 设有方程组 (1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。 解：（1） A是强对角占优阵。
故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。 （2）
雅克比法： ，，， 取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3） ，， 高斯-塞德尔法： ，， 取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3） ，， 2. 设有方程组, , 迭代公式： , . 求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是. 证明： 迭代公式中的矩阵，， 由迭代收敛的充要条件知 即证。 3. 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求.