1 1 v /c
2 2
)
碰撞前后的静止质量之差是复合粒子静止质量的增量
M
0
M
0
2 m 0 m 0 [ 2 (1
1 1 v /c
2 2
) 2]
碰撞后复合粒子的静止质量大于两个粒子的静止质量之和。 粒子碰撞前 的动能为
TM M 0c 1V
2 2
Tm m c m 0 c m 0 c (
{范例13.9} 静止质量相同的粒子的相对论完全 非弹性碰撞
(1)设有静止质量皆为m0的两粒子A和B，B静止不动，A以速度v 与静止的B粒子发生完全非弹性碰撞，碰撞后组成一复合粒子， 试求该复合粒子的速度和质量。粒子损失了多少动能？增加了 多少静止能量？(2)如果两个静止质量皆为m0的粒子A和B以速度 v1和v2在一条直线上运动，它们做完全非弹性碰撞后结果如何？ [解析](1)碰撞前 运动粒子质量为
当v1 < 0或v2 < 0时，表示A或B反向运动。 m0 m0 v2 v1 当v1和v2符号相反时，表示对碰。 A B 设β1 = v1/c，β2 = v2/c，β = V/c，根 据碰撞过程动量守恒可得方程
m 0 v1 1 1
2
M0
V
由质量(能量)守 恒可得方程
m0 1 1 m0 1 2
2

m 0v2 1 2
2

M 0V 1
2

M
0 2
2
1
.
{范例13.9} 静止质量相同的粒子的相对论完全 非弹性碰撞
m 0 v1 1 1
2

m 0v2 1 2
2

M 0V 1
2
,
m0 1 1
2

m0 1 2
2

M
0 2
2
2
1
代入右 式可得
2
两式相除可得 碰撞后的速度

1 2 1 2
)
当v2 = -v1时，两个粒子对碰，碰 M 撞后的速度为零，静止质量为
0

2m0 1 1
2
对碰粒子的静 止质量要大于 两个粒子的静 止质量之和。
当v2 = 0时，表示B粒子碰撞前是静止的，A粒 子与B粒子碰撞后的速度和静止质量已经求出。
取B粒子碰撞前的速度v2为参数，取A粒子 碰撞前的速度v1为自变量，碰撞后复合粒 子的速度V随自变量是单调增加的。
粒子碰撞前的速度越大，碰撞后复合粒子的速度也越大。 当粒子碰撞前的速度不是很大 的时候，碰撞后复合粒子的速 度随碰撞前的速度直线增加； 当粒子碰撞前的速度接近光速 时，复合粒子的速度随碰撞前 的速度急剧向光速增加。
碰撞后复合粒子的静止质量大于两个粒子的静止质量之和。 当粒子碰撞前的速度不是很大的时候，碰撞后复合 粒子的静止质量随碰撞前的速度直线缓慢增加；
粒子做完全非弹性碰撞后，静止质量M0都会随碰 撞前的速度v1的增加(包括符号)先减小再增加。 当v1 = v2时，两个粒子不碰撞，静止质量最小，即2m0。 粒子碰撞前的速度越大，碰撞后的静止质量也越大。 曲线上的“圈”表示等速对碰的静止质量。 例如，当等速对碰速度为v1 = ±0.6c时，静止质量为
当参数v2 = 0时，表示A与静止的B碰 撞，由于碰撞后的速度在等速线和 零线之间，说明碰撞后速度减小。
参数v2的数值越大，曲线位置越高。
v1和v2 符号相 反时表 示A和B 对碰， 曲线的 零点表 示等速 对碰的 结果， 即：复 合粒子 的速度 为零。
参数v2也表示粘合速度，当v1 = v2时，在曲线上用“圈”表示。 例如，当粘合速度v2 = 0.9c时，v1 > v2表示A碰 撞B，碰撞后的速度在等速线和零线之间，复 合粒子的速度小于A碰撞前的速度；0 < v1 < v2 表示B碰撞A，碰撞后的速度在等速线之上， 复合粒子的速度大于A碰撞前的速度。
m m0 1 v /c
2 2
设复合粒子速度为V，静止 质量为M0，其运动质量为 由于碰撞过程动量守恒 mv = MV，可得方程 由能量守恒m0 Mc2，可得质量守恒方程 c2 + mc2 =
M m0v
M 1V
2
0 2
/c
2
M 0V 1V

2
1 v /c
2
/c
M
2
m0
1 v /c 1
M
0
m0
2 1 ( v1 / c )
2
2 .5 m 0 .当粒子碰 Nhomakorabea前的速度接近光速时，复合粒子的 静止质量随碰撞前的速度急剧地无限制地增加。
粒子碰撞前的动能随速度增加而增加，碰撞 后复合粒子的动能也随速度的增加而增加， 粒子损失的动能仍然随速度增加而增加。 损失的动能曲线与复合粒子静止能 量增加的曲线重合，说明：不论碰 撞前的速度是多少，粒子损失的动 能都转化成复合粒子的静止能量。
2
1 / 1 1 1 / 1 2
2
2
所以碰撞后的 静止质量为 或
M
0
M
0
m0
(
1 1 1 1
2

1 2 1 2
2
)(
1 1 1 1
2

1 2 1 2
2
)
m0
(
1 1 1 1

1 2 1 2
)(
1 1 1 1
{范例13.9} 静止质量相同的粒子的相对论完全 非弹性碰撞
(2)如果两个静止质量皆为m0的粒子A和B以速度v1和v2在 一条直线上运动，它们做完全非弹性碰撞后结果如何？ [解析](2)如图所示， 如果v1 > v2 > 0表示 B在前、A在后，A 与B碰撞； 如果0 < v1 < v2，表示A在 前、B在后， B与A碰撞； 如果v1 = v2，表示B 与A不碰撞，这时 M0 = 2m0，因而可 以当作无碰撞粘合。
2 2 2
1 1 v /c
2 2
1)
碰撞后的动能为TM = Mc2 – M0c2，
/c
2
M 0c
2
V
m0c v 1 v /c
2 2
2
M 0c
2
m0c (
2
1 1 v /c
2 2
1) M 0 c
2
粒子损失的动能为ΔT = Tm – TM = (M0 - 2m0)c2 = ΔM0c2， 可见：粒子损失的动能转 这是符合能量 化为复合粒子的静止能量。 守恒定律的。
由于
1
2
V c
1 / 1 1 2 / 1 2
1 / 1 1 1 / 1 2
2
2 2 2
,
M
0
m0 1 (
2 2
1 1 1
2

1 1 2
2
)
2

(1 / 1 1 1 / 1 2 ) ( 1 / 1 1 2 / 1 2 )
2 (1

1 )
2
1
当v << c时，可得V = v/2，M0 = 2m0， 这是经典力学碰撞的结果。
{范例13.9} 静止质量相同的粒子的相对论完全 非弹性碰撞
m0v 1 v /c
2 2

M 0V 1V
2
, /c
2
V
v 1 1 v /c
2 2
,
M
0
m0
2 (1
v 1 1 v /c
2 2
设β = v/c，可得复合粒子的静止质量
2
复合粒子的速度 随入射粒子速度 的增加而增加， 但小于入射粒子 的速度。

2
M
0
m0
1
2 2
V c
2 2
m0
1
1 1
2
2
1
2
2
(1
1 )
2
2
m0
(1
1 ) 1
2
m0
2 2
0 2
1 v /c
2
2
1V
. /c
2
{范例13.9} 静止质量相同的粒子的相对论完全 非弹性碰撞
m0v 1 v /c
2 2

M 0V 1V
2
/c
2
, m 0
1 v /c 1
2 2
1 v /c
2

M 1V
0 2
2
/c
2
两式相除可得复 合粒子的速度
1 1 1
2
2
V