生物医学信号处理试卷集试卷一答案和评分标准:一、假设有两个离散平稳随机过程)(),(n y n x ，mx m R 6.0)(=,my m R 8.0)(=，它们统计独立,求这两个随机过程的乘积的自相关函数和功率谱密度。

(14分) 解：设ｚ=xy ，my x z m R m R m n y n y E m n x n x E m n y m n x n y n x E m n z n z E m R 48.0)()()]()([)]()([)]()()()([)]()([)(==++=++=+=（6分)∑==+∞-∞=-m mj mz j z e m R DTFT e P ωω48.0)]([)(（4分）=ωcos 96.02304.17696.0-（４分)二、设线性系统如图所示，已知n n n s ,相互独立,且ωω2sin )(=j s eS ，21)(=ωj n e S 。

要求设计一个滤波器ωω2sin )(c e H j =,试确定ｃ使得滤波后的输出n s ˆ与真实信号n s 的均方误差最小，即])ˆ[(2n n s s E -最小。

（14分）解答：设误差为n n n sˆs e -=其自相关为: )m (R )m (R )m (R )m (R )]s ˆs )(s ˆs [(E )e e (E )m (R s ˆs s ˆs ˆs s m n m n n n m n n e +--=--==+++（2分)做傅立叶变化:)()()()()(ˆˆˆωωωωωj s j s s j s s j s j e e S e S e S e S e S +--=（4分） ωωωωωωωω4262j n j s 2j j x 2j ˆsin 21sin ])(e S )(e S [)e (H )(e S )e (H )(c c e S j s +=+== （2分）ωωωωωω4i s i i sx i ˆsin )e (S )e (H )e (S )e (H )(c e S j s s ===ωωωωωω4i s i i xs i s ˆsin )e (S )e (H )e (S )e (H )(c e S j s ===** (2分）2214321c c +-=ξ （3分）求导等于零：43=opt c （１分）三、简述横向结构的随机梯度法算法步骤。

（14分） 解答：步骤１:]x ,x ,x ,x [)T (X p 1p -T 2-T 1-T T '=+个值观察到（２分)步骤２：先给定。

预先给出，与，初值计算μμT T e W (T)X e 2(T)W 1)(T W+=+（4分)步骤３：1)(T X )1(T W d e ]x ,x ,x [)1T (X x 1T 1T 2p T T 1T 1T +'+-='=++++-++计算新的误差：后，令当有新观测值(5分)转入步骤2,代入得到W(T+2）,e(T+２）…..使得W 接近最优解。

（３分)四、利用⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--)1()()1()(00p inv p p p A A Aρ推导L —D 算法来解Y —Ｗ方程： 0)()(01>∑-+==m k m R a m R pk xx k xx ；)()0(12=∑-+==m k R a R pk xx k xx w σ.（1６分)解：P 阶Y －W 方程写成矩阵形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--001)0()1()()1()0()1()()1()0(21wpp p p a a R p R p R p R R R p R R R σ，)()()(P p p E A R =⋅ p-１阶方程：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------001)0()2()1()2()0()1()1()1()0(2)1(1111 p wp p p a a R p R p R p R R R p R R R σ， )1()1()1(---=⋅P p p E A R ，(２分))1()1()1(---=⋅P invp inv p E A R(2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--)1()()1()(00p inv p p p A A A ρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅+⋅+---)()1(1)()1(1)(001p p p p p p a a ρρρ ，所以有:⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=---)()()1()()1()(p p p p k p p p k p k a a a a ρρ(4分))()(p p A R ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡------)1()1()()()1()1()1()1()()1()(0)1()()1()0(0)0()1()()(00p inv p p R p p R p p inv p p p A R R p R R R A R R p R p R R A A R ρρ)()1(11)1()(11)1()1()()()()(p p inv p k p kp p k p k p E E k p R a p R k p R a p R E =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑-+=--=--=--ρ，(4分）由最后一行：2)1(11)1()()()(--=-∑-+-=p w p k p kp k p R a p R σρ（2分)由第一行：])(1[2)(2)1(2)(p p w p w ρσσ-=-，得到三个推导式.(2分)五、有一信号)n (s ,其自相关函数 2,1,0,7.0)(±±==m m R ms ，被一零均值,方差为0.4的白噪)n (n 所淹没，)n (s 与)n (n 统计独立。

设计一个长度等于３的FI Ｒ数字滤波器，其输出)n (y 使得]))n (s y(n)[(E 2－最小化。

(１４分)解：根据均方误差最小准则得到Ｗ—Ｈ方程：1,,2,1,0)()()(1-=-=∑-=N j m j R m h j R N m xx opt xs ,其中ｘ=s+n,表示输入信号,因为N=3，且)m (R )m (R )m (R n s xx +=，)m (R )]m n (s )n(n)s(n)[(E )]m n (s )n (x [E )m (R s xs =++=+=，代入W-Ｈ方程得： 2,1,0)]()()[()(n 20s s =-+∑-==j m j R m j R m h j R m opt （４分）把 2,1,0,7.0)(±±==m m R ms ,)m (4.0)m (R n δ=代入上式得三个方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑+==∑+==∑+=====20m m -2opt 220m m-1opt 20m m -opt m)](20.4(m)[0.7h 0.7:2j m)](10.4(m)[0.7h 0.7:1j m)](0.4(m)[0.7h 1:0j －－－δδδ(4分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2opt opt opt 227.07.01)2(h )1(h )0(h 4.17.07.07.04.17.07.07.04.1 解得:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0517.01681.00.6121)2(h )1(h )0(h opt opt opt （4分） 所以设计的滤波器的传递函数为:-210517z .01681z .06121.0)z (H ++=-(2分)六、如何用AR 法进行谱估计?为什么AR 谱估计需要的数据比古典法短?(１4分）解2分）在上图模型中,输入输出的功率谱关系为：2j 2w j x )e (H )e (P ωωσ=（３分）∑+=⇒∑+==-=-p1k 2k j )p (k 2wj x p1k k)p (k|e a 1|)e (P za 11)z (H AR ωωσ代入建模为例以（5分)古典法是通过DF Ｔ法计算得到功率谱估计的，DF Ｔ是把数据看成是周期重复的假设下做出的;ＡR 谱则是对延迟p 范围外的自相关函数做预测延伸取得的，因而数据的有效范围宽得多.（４分)七、画出卡尔曼滤波的信号模型和一步递推法模型图。

(１4分） 解：信号模型：(7分）一步递推法模型:(７分）⊕⊕w(k)(k)w 1X(k)X(k)试卷二答案和评分标准:一、n x 是零均值,方差为2xσ的白噪过程，把它先送入一个平均器，得)(211-+=n n n x x y ，然后再将ny 送给一个差分器1y y z --=n n n ，求n z 的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。

（14分） 解答: 1y y z --=n n n )x x (21)(212n 1-n 1--+-+=n n x x )(212--=n n x x （2分）))x x (21(E )z (E 2n n n =-=-（2分))z (E 2n2z=σ)z (E n 2-])(41[E 22--=n n x x )]x 2x (41[E 22n n 22-+-=-n n x x =2x σ/2=)0(R n z （2分))1(R n z ＝)z z (E 1n n +)]x x )((41[E 1n 1n 2-+---=n n x x ＝０ )2(R n z ＝)z z (E 2n n +)]x x )((41[E n 2n 2--=+-n n x x =－2x σ／4当｜m|＞＝3，自相关都为0.)m (R n z =)]2m (21)2m (21)m ([212x +---δδδσ(6分) )w (P n z ]e 21e 211[21jw2jw2-2x --=σ]cos2w 1[212x -=σ（２分）二、一个一阶递归滤波器，输入是零均值、方差为１的白噪声,滤波方程是11<+=-a bx ay y nn n证明：ωωcos 21)(22a ab e P j y -+=； 求)(m R y 。

(14分）解:2)()()(ωωωj j x j y e H e P e P =，(2分）对滤波方程求传递函数：11)(--=az bz H ,则ωωcos 21)(222a ab e H j -+=，(4分）而1)(=ωj x e P ,所以得证：ωωcos 21)(22a a b e P j y -+=（2分) )()()()(m h m h m R m R x y *-*=，而)()(m m R x δ=，)()(m u ba m h m =,)()(m u ba m h m -=--（３分)∑-=∑--=-*=-∞=-+∞-∞=---02222)()()()()()(n n m n n n m m m y n m u a a b n u a n m u a b m u a m u a b m Rm m m n n m m n n m n n m a ab a a b a a b m a a b a a b m n m u a a b 222222220220221)1/(,0)1/(,0)(-=⎪⎩⎪⎨⎧-=∑<-=∑≥=∑+=--+∞=+∞=+∞=（3分)三、估计Ｎ点长的、零均值、实序列)(n x 的功率谱)(ˆωx S ，用Ｗｅｌc ｈ法过程如下:.)(1)(ˆ;)(M 1)(S ),(X FFT ,2M ,)n (w )n (x L k N )n (x 12i i i ∑==⨯=k i ix i S kU S X ωωωωω，得到然后的幂次点长，为补零至加窗点长的小段，段点长分成证明:如果各段数据互相独立,则Ｗｅlch 法谱估计的均值是⎰-=+-ππλλωλπωd W S S E xx )()(21)](ˆ[,其中210)(1)(∑=-=-M n nj en w MU W ωω;（８分）归一因子U 的作用是使得估计的均值渐进无偏,即当Ｍ不断增加时有)()](ˆ[ωωx x S S E =.证明：Ｕ=∑-=102)(1M n n w M .（８分)证明:])()([1)]([1])(1[)](ˆ[2101∑==∑=-=-=M n n j i i k i i x e n w n x E MU S E U S kU E S E ωωωω∑∑=-=-=--1010)()()()]()([1M n M m m n j i i e m w n w m x n x E MU ω由于x 是零均值的，所以ηηπππωd eS m n R m x n x E m n j x x i i ⎰=-=+--)()(21)()]()([，代入上式)](ˆ[ωx S E ])(21[)()(1)(1010)(⎰⨯∑∑=+---=-=--ππωωηηπd e S e m w n w MU m n j x M n M m m n j （４分） ⎰∑⨯∑=+--=--=--ππηωηωηηπd e m w e n w S MU M m jm M n jn x])([])()[(2110)(10)(⎰∑=+--=--ππηωηηπd e n w M S U M n jn x ])(1)[(21210)(定义210)(1)(∑=-=-M n nj e n w MU W ωω,则)](ˆ[ωx S E ⎰-=+-ππηηωηπd W S x )()(21(4分)证明:当M 逐渐增加时窗Ｗ(ｗ)的宽度逐渐减少，趋于冲击相应,此时)](ˆ[ωx S E ⎰-=+-ππηηωηπd W S x )()(21 ⎰-=+-ππηηωπωd W S x )(21)(,欲使均值渐进无偏,则后半部分应等于１：1)(21=⎰+-ππηωπd W ，即1)(21210=⎰∑+--=-ππωωπd en w MU M n nj (4分)⎰∑+--=-ππωωπd e n w MU M n n j 210)(21⎰∑⨯∑=+--=-=-ππωωωπd e m w e n w MU M m jm M n jn ])([])([211010⎰∑∑+∑=+-≠-=-=---=ππωωπd e m w n w n w MUmn M n M m m n j M n ])()()([211010)(102，后一项正交积分为零,1)(1])([21102102=∑=⎰∑=-=+--=M n M n n w MU d n w MU ππωπ,所以U=∑-=102)(1M n n w M （4分）四、设已知2,1,0),4.0(113)8.0(1114)(±±=-=m m R mm s ，用Ｌ－D 算法为此信号估计p ＝1，２，3阶ＡR 模型的系数和激励白噪的功率。