体积力 F e Fx Fy T ，表面力 e x y T
二、位移模式与形函数
u a1 a2x a3 y ui a1 a2xi a3 yi
vi a4 a5xi a6 yi
y
Yk vk
k(xk , yk )
Xk uk
Yi vi Xi
Fy Fx
Yj vj
i(xi , yi ) ui
力解。
• 4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行 的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各行元素的 总和为零。由对称性可知，各列元素的总和也为零。
Fyi
KiiLeabharlann KiiKijKij
Kim
Kim
vi
Fxj Fyj
K K
ji ji
K ji K ji
K jj K jj
K jj K jj
K jm K jm
K K
jm jm
uj vj
Fxm
Kmi
Kmi
Kmj
Kmj
Kmm
K
mm
um
Fym Kmi Kmi Kmj Kmj Kmm Kmm vm
其中 Krs 表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在节点
r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将节点力列矩阵 Fe 与节点位移列矩阵 e 均展开成
(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：
Fxi Kii Kii Kij Kij Kim Kim ui
Fi Kii Kij Kim δi
Fj
Kji
Kjj
K jm
δj
Fm Kmi Kmj Kmm δm
写成普通方程 Fi Kii δi Kij δj Kimi δm Fj Kji δi Kjj δj Kjm δm
Fi Kmi δi Kmj δj Kmm δm
元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的 表示垂直方向。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
Fxr Si,j,m
Fyr Si,j,m
(Krsus Krsvs )(r i,j,m)
(Krsus Krsvs )(r i,j,m)
单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合 体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力 与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。 节点力和节点位移的关系前面已经求出：
Fe Ke δe
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
单元刚度矩阵的物理意义：
将 Fe 写成分块矩阵
平面问题 单元刚度矩阵的物理意义及其性质
一、离散化
将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之 间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
结点位移,单元结点位移
三角形网格划分
i i ui vi T
e
T i
T j
T k
T
结点力,单元结点力
Ri Ri Xi Yi T R e RTi RTj RTk T
• 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 kii
表示力的方向和位移方向一致，故总为正值。
• 3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚阵
时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，
但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能
得到唯一位移解
e (Ke)1，F只能得到唯一的节点
j
(
x
j
X ,y
j j
u )
j
0
x
v a4 a5x a6 y u j a1 a2x j a3 y j v j a4 a5x j a6 y j
uk a1 a2xk a3 yk vk a4 a5xk a6 yk
Institute of Mechanical Engineering and Automation
Krs，Krs，Krs，Krs 表示节点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向
产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平
节点力和垂直节点力的大小。例如 Kij 表示节点j在垂直方
向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。
单元刚度矩阵的物理意义及其性质
• 1）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明 Ke (Ke)T )