南昌大学 2016～2017学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.函数1z x y =+-的定义域是_________. 2. 设yz xe =，则2z x y∂=∂∂ _________.3. 曲面22z x y =+在()1,1,2处的切平面方程为______.4. 级数()112n n n ∞=+∑的和为________.5. 微分方程''690y y y '-+=的通解为_______. 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 以下命题不一定成立的是（ ）。
(A)多元函数可微就可导； (B) 多元函数可微就连续； (C)多元函数偏导数连续就可微； (D) 多元函数可导就可微2. 幂级数()02nn n a x ∞=+∑在3x =收敛，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径R 满足（ ）。
(A) 23R << ； (B) 34R <<； (C) 45R <<； (D) 5R ≥3. 若()1y x ，()2y x 是非齐次微分方程:()()()''y p x y q x y f x '++=的两个特解,要使()()12y x y x αβ+仍然是方程: ()()()''y p x y q x y f x '++=的解，则α，β应满足（ ）。
(A) 12αβ+=； (B) 1αβ-=；(C) 0αβ=； (D) 1αβ+=4. 设∑是取外侧的曲面2221x y z ++=，则曲面积分Òxdydz ydzdx zdxdy ∑+-=⎰⎰（ ）。
(A) 13π； (B) 23π； (C) π； (D) 43π 5. 设()()()()()222,,0,0,0,,0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则()0,0y f = ( ）。
(A)1-; (B)0; (C)1； (D)2三、计算题(共3小题，每小题8分，共24分)1、已知()2sin z x xy =，求z x ∂∂， 2z x y∂∂∂。
2、求二重积分D⎰⎰，其中积分区域D 是由曲线()2211x y +-=和()2224x y +-=所围成的区域。
3、求微分方程''sin y y x +=的通解四、计算题(共2小题，每小题8分，共16分)1、计算曲线积分()sin 2cos ln 3L y y dx y x x dy x⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎰,其中有向曲线L 是从点()4,0A 沿上半圆周()2231x y -+=到点 ()2,0B 。
2、求幂级数031n nn x n ∞=+∑的收敛半径、收敛域以及和函数。
五、计算题(共2小题，每小题8分，共16分) 1、求曲面2222426x y z xyz x z -+--+=在点()0,1,2处的切平面方程和法线方程。
2、生产某产品的利润函数为()3144,80R x y x y =，其中x ，y分别表示投入的劳动力数量和原材料数量。
若每个单位劳动力需600元，每单位原材料需2000元，且劳动力和原材料投入的总预算为40万元，求最佳的资金投入方案。
六、计算题(8分)用高斯公式计算曲面积分333Òx dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰， 其中∑为曲面2224x y z ++=所围立体的外侧曲面。
七、证明题(6分)设正项数列{}n a 单调递减，级数()11nn n a ∞=-∑发散，求证级数()111n na n ∞+=∑收敛。
南昌大学 2016～2017学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.函数1z x y =+-的定义域是 (){}22,0,1x y x y xy +≥+≠2. 设yz xe =，则2z x y∂=∂∂y e .3. 曲面22z x y =+在()1,1,2处的切平面方程为()()()212110x y z -+---=.4. 级数()112n n n ∞=+∑的和为34.5. 微分方程''690y y y '-+=的通解为()312x C C x e +.二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 以下命题不一定成立的是（ D ）。
(A)多元函数可微就可导； (B) 多元函数可微就连续； (C)多元函数偏导数连续就可微； (D) 多元函数可导就可微2. 幂级数()02nn n a x ∞=+∑在3x =收敛，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径R 满足（ D ）。
(A) 23R << ； (B) 34R <<；(C) 45R <<； (D) 5R ≥3. 若()1y x ，()2y x 是非齐次微分方程:()()()''y p x y q x y f x '++=的两个特解,要使()()12y x y x αβ+仍然是方程: ()()()''y p x y q x y f x '++=的解，则α，β应满足（ D ）。
(A) 12αβ+=； (B) 1αβ-=；(C) 0αβ=； (D) 1αβ+=4. 设∑是取外侧的曲面2221x y z ++=，则曲面积分Òxdydz ydzdx zdxdy ∑+-=⎰⎰（ D ）。
(A) 13π； (B) 23π； (C) π； (D) 43π 5. 设()()()()()222,,0,0,0,,0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则()0,0y f = ( D ）。
(A)1-; (B)0; (C)1； (D)2三、计算题(共3小题，每小题8分，共24分)1、已知()2sin z x xy =，求z x ∂∂， 2z x y∂∂∂。
解: ()()22sin cos z x xy x y xy x∂=+∂ ()()2233cos sin z x xy x y xy x y∂=-∂∂2、求二重积分1D⎰⎰，其中积分区域D 是由曲线()2211x y +-=和()2224x y +-=所围成的区域。
解:1D=⎰⎰4sin 02sin 02sin 4d d d πθπθθρθθ===⎰⎰⎰ 3、求微分方程''sin y y x +=的通解解: 与所给方程对应的齐次方程为: ''0y y +=它的特征方程为：210r += 特征根为：1,2.r i =±于是与所给方程对应的齐次方程的通解为：12cos sin Y C x C x =+由于i ±是特征方程的根，可设特解为： ()*cos sin y x a x b x =+把它代入方程，得:12a =-, 0b =所以原方程的特解为：*1cos 2y x x =- 从而，所求方程的通解为：121cos sin cos 2y Y y C x C x x x *=+=+-四、计算题(共2小题，每小题8分，共16分)1、计算曲线积分()sin 2cos ln 3L y y dx y x x dy x⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎰,其中有向曲线L 是从点()4,0A 沿上半圆周()2231x y -+=到点 ()2,0B 。
解: 添加路径BA u u u r ，使得L BA +u u u r成为闭路，设闭路所围的区域为D ，设sin 2yP y x=+, cos ln 3Q y x x =+ 1Q Px y ∂∂-=∂∂由格林公式，有:()sin 2cos ln 3L BA y y dx y x x dy x +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎰u u u r Ñ 2D DQ P dxdy dxdy x y π⎛⎫∂∂=-== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 又：()sin 2cos ln 30BA y y dx y x x dy x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭⎰u u u r 原式()sin 2cos ln 3L BA y y dx y x x dy x +⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭⎰u u u r Ñ ()sin 2cos ln 3BA y y dx y x x dy x ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭⎰u u u r 022ππ=-=2、求幂级数031n nn x n ∞=+∑的收敛半径、收敛域以及和函数。
解: Q 31n n a n =+, 1132n n a n ++=+∴收敛半径1lim n n n a R a →∞+==()21lim 313n n n →∞+=+当13x =时, 111n n ∞=+∑发散;当13x =-时, ()111nn n ∞=-+∑收敛.故收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭令()S x =031n nn x n ∞=+∑.()xS x '⎡⎤=⎣⎦03n n n x ∞==∑()01313n n x x ∞==-∑ 所以 ()0()x xS x xS x dx '⎡⎤==⎣⎦⎰()0ln 131133x x dx x -==--⎰11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故: ()ln 1311,,00,()3331,0U x x S x xx ⎧-⎡⎫⎛⎫-∈-⎪⎪ ⎪⎢=⎨⎣⎭⎝⎭⎪=⎩五、计算题(共2小题，每小题8分，共16分) 1、求曲面2222426x y z xyz x z -+--+=在点()0,1,2处的切平面方程和法线方程。
解: 令()222,,2426F x y z x y z xyz x z =-+--+- 在点()0,1,2处246x F x yz =--=-,44y F y xz =--=-,226z F z xy =-+=切平面方程: ()()321320x y z ---+-= 法线方程: 12323x y z --==-- 2、生产某产品的利润函数为()3144,80R x y x y =，其中x ，y分别表示投入的劳动力数量和原材料数量。
若每个单位劳动力需600元，每单位原材料需2000元，且劳动力和原材料投入的总预算为40万元，求最佳的资金投入方案。
解:目标函数：()3144,80R x y x y =约束条件：6002000400000x y += 或：3102000x y += 令()()3144,,803102000L x y x y x y λλ=++-由1144334460302010031020000x y L x y L x y L x y λλλ--⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪=+-=⎪⎪⎩得：50050x y =⎧⎨=⎩即: 劳动力数为500,原材料数为50.六、计算题(8分)用高斯公式计算曲面积分333Òx dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰， 其中∑为曲面2224x y z ++=所围立体的外侧曲面。