中国计量学院2009 ~ 2010 学年第二学期 《高等数学(A)（2）》课程考试试卷（B ）
参考答案及评分标准
开课二级学院：_____ ，学生班级： ，教师： 一、单项选择题（每小题3分, 共15分) 1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题3分，共15分) 1．12dx dy +
2．5
3
3．2(,)x f a b '
4．230+-=y z 5．18π 三、计算题(每题7分；共56分)
1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D
根据题意有000+++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
A B C D B C D A B C （4分）
所以有0=D ；::2:1:1=-A B C 所求平面方程为 20--=x y z （3分） 2．解：
21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x
u x
v x
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
+
=⋅+⋅=++-= （3分）
()21212()2(
)4.z z u z v
u v
x y x y y y
u y
v y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
+
=⋅+⋅-
=+--= （4分）
3解：D 是由2
2y x =及2
1y x =+所围成的闭区域 也就是{
}22
(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x
（3分）
()
{}
2
2
2
2111
11
20
212
2
4
(2)(2)22322
1415
++-+=+==+-=
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
x x x
x
D
x y dxdyD dx x y dy dx ydy
x x
dx （4分）
4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面22
1()2
z x y =
+及平面1z =所
围成的闭区域．
解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)
故10
z
D zdxdydz zdz dxdy Ω
=
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰12
22 3
z dz ππ
==
⎰
(+5分)
5．解： 设2
2
22
(,),(,)y x P x y Q x y x y
x y
=
=-
++，因为()()22
:111L x y -+-=，
所以22
0x y +≠，而且有
()
2
2
2
2
2
Q x y
P x
y
x
y
∂-∂=
=
∂∂+， .(3分)
故由格林公式得2
2
L
ydx xdy I x y
-=
+⎰
0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫
∂∂=
-= ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰ .(4分)
6．解：计算⎰⎰∑
++dxdy z dzdx y dydz x 2
2
2
，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有
限部分的下侧。

解：由对称性知：
2
2
0x dzdy y dxdz ∑
∑
=
=⎰⎰
⎰⎰
（3分）
3
20
10
5
2
π
θ
π-
=-=⎰
⎰
⎰⎰
∑
dr r d dxdy z .(4分)
7．解：2
1
1111()43
(1)(3)
213f x x x x x x x ⎛⎫=
=
=
- ⎪++++++⎝⎭
11111111221412214124x x x x ⎛
⎫ ⎪
⎛⎫ ⎪=-=- ⎪
--+-+-⎛⎫⎛
⎫ ⎪⎝⎭++
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
. (3分) ()()
111
11111113, 1,351144
2884112
4
n
n
n
n
n n x x x x x x ∞
∞
==--⎛⎫
⎛⎫=
--<<=--<< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
+
+
∑∑
所以原式()()
1
111()11 4
284n
n
n
n
n n x x f x ∞
∞
==--⎛⎫
⎛⎫
=
--- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑
()
()2230
11111322n
n
n n n x x ∞
++=⎛⎫=
----<< ⎪⎝⎭
∑ （4分)
8．解 11lim
11
n R n n
→∞
==+，所以收敛半径为1；在端点1=x 处，级数为1
1n n
∞
=∑
，发散；
在端点1=
-x 处，级数为()1
1n
n n
∞
=-∑为收敛的交错级数．所以收敛域为
[1,1)- （2分）
令1
()n
n x
S x n
∞
==
∑
，则当1x <时有 1
1
1()1n n S x x
x
∞
-='=
=
-∑
， （2分）
因(0)0S = 于是在[0,]x 上积分得：()ln(1),[1,1)=--∈-S x x x ． (3分)
四、应用题（8分）
解：
设球面方程为z =
(),,x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的顶点，则
长方体的长、宽、高分别为2,2,x y z 体积为4V xyz = （3分） 做辅助函数()2222(,,,)4F x y z xyz x y z a λλ=+++-则有方程组
22
2
2
420420420x x x F yz x F xz y F xy z x y z a
=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩
解得x y z === （3分）
根据实际问题可知，这种长方体的体积为最大，所以当长、宽、高分别
为2x y z =
=
=
体积最大3
V =。

（2分）
五、证明题（6分）
证明: 证明：因为级数21
n
n u ∞
=∑、2
1
1n n
∞
=∑
均收敛，所以2
1
n
n u ∞
=∑+2
1
1n n
∞
=∑
即2
2
1
1()n n u n
∞
=+∑收敛 （2分） 因为2
2
112
n n u u n
n
+≥ （2分）
因此1
12
n n u n
∞
=∑收敛，即1
1n n u n
∞
=∑
绝对收敛。

（2分）。