2015年上海高考数学（理科）试题
一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分）
1、设全集U=R ，若集合{
}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U 2、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z=
3、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c 4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a
5、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p
6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为1:2π，则其母线与轴的夹角的大小为
7、方程()()
223log 59log 1212+-=---x x 的解为
8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）
9、已知点P 和Q 的横坐标相等，P 点的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为x y 3±=，则2C 的渐近线方程为
10、设()x f 1-为()[]2,0,2
22∈+=-x x x f x 的反函数，则()()x f x f y 1-+=的最大值为 11、在10201511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示） 12、赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元），随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元），若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则=-21ξξE E 元
13、已知函数()x x f sin =，存在m x x x ,,21，满足6021≤<<<≤m x x x ，且()()()()()()()
*-∈≥=-++-+-N m m x f x f x f x f x f x f m m ,2,1213221 ，则m 的最小值为 14、在锐角三角形ABC 中，2
1tan =A ，D 为BC 边上的点，△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则=⋅DF DE 。
二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
15、设C z z ∈21,，则“21z 、z 中至少有一个是虚数”是“21z z -是虚数”的（ ）
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件下
D 、既不充分也不必要条件
16、已知点A 的坐标为()1,34，将OA 坐标原点O 逆时针方向旋转
3
π至OB ，则B 点的纵坐标为（ ）
A 、233
B 、235
C 、211
D 、213 17、记方程①：0112=++x a x ，方程②：0122=++x a x ，方程③：0132=++x a x 其中321a 、a 、a 是正实数，当321a 、a 、a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A 、方程①有实根，方程②有实根
B 、方程①有实根，方程②无实根
C 、方程①无实根，方程②有实根
D 、方程①无实根，方程②无实根
18、设()n n n y x P ,是直线()*∈+=
-N n n n y x 12与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞
→11lim n n n x y （ ） A 、1- B 、2
1-
C 、1
D 、2 三、解答题（本题共5大题，满分74分）
19、（本题满分12分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AD AB AA ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明：E F C A ,,,11四点共面，并求直线1CD 与平面FE C A 11所成角的大小。
20、（本题满分14分）
如图，A 、B 、C 三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f （单位：千米），甲的路线是AB ，速度为5千米／小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米／小时，乙到B 地后在原地等待，设1t t =时乙到达C 地，
（1）求1t 及()1t f 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当11≤≤t t 时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由。
21、（本题满分14分）
已知椭圆1222=+y x ，过原点的两直线1l 和2l 分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S 。
（1）设()
()2211,,y x 、C y x A ，用A 、C 点的坐标表示C 点到直线1l 的距离，并证明12212y x y x S -=；
（2）设直线1l 和2l 的斜率之积为2
1-
，求S 的值。
22、（本题满分16分） 已知数列{}n a 和{}n b 满足()n n n n b b a a -=-++112，*∈N n ，
（1）若53+=n b n ，且11=a ，求{}n a 的通项公式；
（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即）N （n a a n n *∈≥,0，求证：{}n b 的第0n 项是最大项；
（3）设01<=λa ，()
*∈=N n b n n ,λ，求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2-∈m M 。
23、（本题满分18分）
对于定义域为R 的函数()x g ，若存在正常数T ，使得()x g cos 是以T 为周期的函数，则称()x g 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期。
已知()x f 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()x f 是单调递增，()()π4,00==T f f ，
（1）验证()3
sin x x x g +=是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）设b a <，证明对任意()()[]b f a f c ,∈，存在[]b a x ,0∈，使得()c x f =0；
（3）证明：“0u 为方程()1cos =x f 在区间［0，T ］上的解”的充要条件是“T u +0为方程()1cos =x f 在区间［T ，2T ］上的解”，并证明对任意[]T x ,0∈都有()()()T f x f T x f +=+。