淮北一中2020届高三下第五次考试数学（理科）试题一、单选题：本题共12小题，每题5分，共60分 1.集合{}2|log (5)M x y x ==-，1|,0N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭，则M N U （ ）. A.(,5)-∞B.[2,)+∞C.[2,5)D.(5,)+∞2.设232015z i i i i =++++L ，则2zi=+（ ） A.1255i +B.2155i -C.2155i -+ D.1255i -+ 3.()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22()log 43f x x x a =+++，则(2)f -=（ ） A.5-B.7-C.5D.74.各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S =（ ） A.3B.9C.10D.135.函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A. B. C. D.6.设(3n x +的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若17480M N -=，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A.40B.30C.20D.157.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A.12种B.18种C.24种D.36种8.某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是（ ）A.2C.D.39.4tan10tan 202tan 40tan 70︒︒︒︒++-的值为（ ） A.0B.1C.1-10.已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左右焦点1F ，2F ，两曲线在第一象限的交点为P 点，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形。

若1||8PF =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，则1221e e +的取值范围是（ ） A.(4,)+∞B.(4,7)C.(2,4)D.4)11.函数()sin (0)6f x A x a a A πω⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB.23π C.πD.43π 12.存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A.(,0)-∞B.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13.函数(1)log 1x a y -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过顶点A ，点A 在直线y mx n =+图像上，其中0mn >，则12m n+的最小值为_________ 14.已知平面向量a r ，b r ，c r 模长分别为1，2，4，且两两所成角相等，则||a b c ++=r r r________15.在半径为3的球面上有A ，B ，C 三点，90ABC ︒∠=，BA BC =，球心O 到平面ABC的距离为2，则B ，C 两点的球面距离为_________16.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上投影为N ，则||||MN AB 的最大值为_________三、解答题：本题共7小题，共70分 （一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，*n N ∈，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.（1）求n a 和n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18.（12分）如图，在菱形ABCD 中，3BAD π∠=，2EDC π∠=，平面CDE ⊥平面ABCD ，EF DB ∥，M 是线段AE 的中点，112DE EF BD ===.（1）证明：DM ∥平面CEF .（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值.19.（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望()E ξ.20.（12分）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M满足4PQ =u u u r u u u r.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A ，B （不同于G ，H ）两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由. 21.（12分）已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值；（2）证明：.2()1x f x e x +<-. （参考数据：ln 20.69≈ ln3 1.10≈ 324.48e ≈ 27.39e ≈） （二）选考题：共10分 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,11,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为ρ=，定点(6,0)M ，点N 是曲线1C 上的动点，Q 为MN 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线2C 的交点为A ，B ，若AB 的中点为D ，求||PD 的长. 23.已知a ，b ，c +∈R ，且1a b c ++=. （1（2）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭参考答案1-12 BCBCAD DCABCD 13.814.715.π16.117.（1）21n b n =-；（2）(45)25nn T n =-+试题解析：（1）∵22n S n n =+，*n N ∈，∴当1n =时，113a S ==.当2n ≥时，22122(1)(1)41n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦.∵1n =时，13a =满足上式，∴41n a n =-，*n N ∈.又∵24log 3n n a b =+，*n N ∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=. 故41n a n =-，12n n b -=，*n N ∈ （2）∵41n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++=L 01213272(45)2(41)2n n n n --⨯+⨯++-⨯+-⨯L ①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯L ②由①－②得：1213424242(41)2n nn T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯L()121234(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--∴(45)25nn T n =-⨯+，*n N ∈.18.（1）证明见解析（2（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO .因为OD EF ∥，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以OD ∥平面CEF .又OM 是ACE △的中位线，所以OM CE ∥，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以OM ∥平面CEF .又OM OD O =I ，所以平面OMD ∥平面CEF . 又MD ⊂平面OMD ，故MD ∥平面CEF . （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ， 平面CDE ⋂平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDE ， 所以ED ⊥平面ABCD .连接OF ，则EF OD ∥，EF OD =， 故四边形ODEF 是平行四边形， 故ED OF ∥，从而OF ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)F ，(0,1,1)E -，(0,1,0)EF =u u u r，(AF =u u u r，(0,1,1)BF =-u u u r，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =r，则00n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩r u u u r r ，令1x =，则z = 平面AEF的一个法向量为n =r， 设直线BF 与平面AEF 所成角为θ，||sin |cos ,|4||||n BF n BF n BF θ⋅=〈>==⋅u u u r r u u u r ru u ur rcos θ==所以直线BF 与平面AEF.19.（1）64，65；（2）2335；（3）()12E ξ=.由题意知，样本容量为6600.00520=⨯，60(0.0120)12b =⨯⨯=，606122418a =---=，180.0156020c ==⨯.（1）平均数为(300.005500.015700.02900.01)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 设中位数为x ，因为0.005200.01520⨯+⨯=0.40.5<，0.005200.015200.02200.80.5⨯+⨯+⨯=>，所以(60,80)x ∈，则0.005200.01520(60)0.020.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得65x =.（2）由题意可知，分数在[60,80)内的学生有24人，分数在[80,100]内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A ，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B ， 则242()363P A ==，242346()3635105P AB ⨯==⨯，所以()23(|)()35P AB P B A P A ==. （3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为2410460⨯=，“合格”的学生人数为1046-=. 由题意可得ξ的所有可能取值为0，5，10，15，20.444101(0)210C P C ξ===，314641024(5)210C C P C ξ===，224641090(10)210C C P C ξ===， 134641080(15)210C C P C ξ===，4641015(20)210C P C ξ===. 所以ξ的分布列为()0510152012210210210210E ξ=+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（1）22198x y +=；（2）是定值为12. （1）解设(,)M x y ，()00,P x y ，则()0,0Q x .∴()00,PQ y =-u u u r ，()0,MQ x x y =--u u u u r.∵4PQ =u u u r u u u r，∴)0004x x y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∵()00,P x y 在229x y +=上，∴2294x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得22198x y +=故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=. （2）解：由题意知，l 的斜率不为0，则设:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，与曲线E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()228916640m y my ++-=则1221689m y y m +=-+，1226489y y m =-+∴()12124my y y y =+ 直线AG 的斜率1113y k x =+，直线BH 的斜率2223y k x =-此时()()()()12121221213234y x y my k k y x y my --===++1211211221222442144442my y y y y y my y y y y y -+-==+++ 所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值，为12. 21.（1）见解析；（2）见证明 （1）2()1ln 1()(0)f x x g x x x x x x =-=->，22ln ()x g x x'-=，当()20,x e ∈，()0g x '>， 当()2,x e ∈+∞，()0g x '<，∴()g x 在()20,e 上递增，在()2,e +∞上递减，∴()g x 在2x e =取得极大值，极大值为21e ，无极大值. （2）要证2()1xf x e x +<-.即证2ln 10x e x x x --->，先证明ln 1x x -…，取()ln 1h x x x =-+，则1()xh x x'-=， 易知()h x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，故()(1)0h x h =…，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取“=”，故ln (1)x x x x -…，22ln 21x x e x x x e x x ---+-…故只需证明当0x >时，2210x e x x -+->恒成立， 令2()21xk x e x x =-+-，（0x …），则()41xk x e x '=-+， 令()()F x k x '=，则()4xF x e '=-，令()0F x '=，解得：2ln 2x =，∵()F x '递增，故(0,2ln 2]x ∈时，()0F x '…，()F x 递减，即()k x '递减，(2ln 2,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 递增，即()k x '递增，且(2ln 2)58ln 20k '=-<，(0)20k '=>，2(2)810k e '=-+>，由零点存在定理，可知1(0,2ln 2)x ∃∈，2(2ln 2,2)x ∃∈，使得()()120k x k x ''==，故10x x <<或2x x >时，()0k x '>，()k x 递增，当12x x x <<时，()0k x '<，()k x 递减，故()k x 的最小值是(0)0k =或()2k x ，由()20k x '=，得2241x ex =-，()2222221x k x e x x =-+-=()()22221x x =---，∵2(2ln 2,2)x ∈，∴2()0k x >，故0x >时，()0k x >，原不等式成立.22.（1）22(3x y +=（2）||PD =试题解析：（1）由题意知，曲线1C的直角坐标方程为2212360x y x ++-+=.设点(),N x y ''，(,)Q x y ，由中点坐标公式得262x x y y''⎧=-⎨=⎩，代入2212360x y x ++-+=中，得点Q 的轨迹2C的直角坐标方程为22(3x y +=.（2）P的坐标为0)，设l的参数方程为,21,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线2C的直角坐标方程得：2(330t t -++=，设点A ，B ，D 对应的参数分别为1t ，2t ，3t ，则123t t +=123t t =，123||2t t PD t +===.23.（1；（2）见解析 【详解】（1）()2222111()3a b c ≤++++=，当且仅当13a b c ===取“=”.（2）111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8b c a c a b a b c +++=⋅⋅=L 当且仅当13a b c ===取“=”。